Contabilidade

LISTA DE EXERCÍCIOS DE MÉTODOS ESTATÍSTICOS II

UNIDADE 4 – Distribuições de Probabilidade

1. Classifique, se for possível, pelas características apresentadas, as variáveis aleatórias descritas abaixo em Binomial, Poisson, Exponencial ou Normal.

1	A probabilidade da variável aleatória X assumir um valor negativo é zero.	E
2	É uma das mais importantes distribuições, conhecida também como distribuição de Gauss.	N
3	Seu gráfico tem a forma de sino sendo simétrica em relação à média, e mais que a média a mediana e a moda são sempre coincidentes.	N
4	Deseja-se obter a probabilidade do tempo entre falhas sucessivas num equipamento.	P
5	Deseja-se a probabilidade de para uma sequência de n tentativas obter x sucessos.	B
6	Deseja-se obter a probabilidade de x ocorrências (discretas) em um espaço contínuo de tempo.	P
7	A média (taxa) de sucesso para um evento pode ser conhecida, mas a de insucesso não.	P
8	Deseja-se a probabilidade da ocorrência de valores em R  num conjunto contínuo (em R) de valores sabendo-se que a distribuição é sempre simétrica.	N
9	Deseja-se obter a probabilidade entre ocorrências num espaço contínuo.
10	Cada realização do experimento resulta apenas em duas possibilidades, sucesso ou fracasso.	B
11	O intervalo de observação pode ser multiplicado por um fator qualquer desde que a média (taxa) também o seja.
12	Pode-se calcular a probabilidade de x peças defeituosas, num lote amostrado de n peças.
13	Pode-se calcular a probabilidade de x defeitos em uma determinada área y2.

1. Uma análise no cadastro de clientes de uma rede de eletrodomésticos, com vendas no varejo, originou uma proporção de 18% em atraso. Se for obtida, ao acaso, uma amostra dos cadastros de 10 clientes qual a probabilidade, pela Binomial, de:

1. Todos estarem em dia;
2. Pelo menos 9 em dia;
3. Exatamente 5 em dia;
4. No máximo 2 em atraso;
5. Exatamente um em atraso;
6. No máximo um em atraso;
7. Calcule E(X), V(X) e DP(X), X: número de clientes em dia entre os amostrados;
8. Qual o número esperado de clientes em atraso, supondo um total de 8.000 cadastros.

Foram amostrados 10 clientes → n=10.

A variável X será definida como o número de clientes em dia dentre os quinze amostrados → X={0,1,2,3, ..., 10}.

A probabilidade de estar em dia → P(Sucesso)=p=0,82

A probabilidade de NÃO estar em dia, ou seja, estar em atraso → P(Insucesso)=q=0,18

Solução: Binomial → n=10 e p=0,82

        [pic 2]

23.1 todos estarem em dia x=10.

        [pic 3]

23.2 pelo menos 9 em dia entre 10, significa 9 ou 10 em dia → P(X≥9)=P(X=9)+P(X=10).

        [pic 4]

P(X≥9)=0,13745+0,30172=0,43917

23.3 exatamente 5 em dia (lembrar que de 10, 5 em dia significa 5 em atraso).

        [pic 5]

23.4 no máximo 2 em atraso (atenção 2 em atraso de 10, significa 8 em dia) (no máximo 2 em atraso é equivalente a pelo menos 8 em dia) → P(X≥8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10).  Como P(X=9) e P(X=10) já estão calculados vai-se calcular apenas P(X=8)

        [pic 6]

P(X≥8)=0,13745+0,30172+0,29804=0,73721

23.5 exatamente 1 em atraso (lembrar que de 15, 1 em atraso significa 14 em dia).

        Já calculado em 23.2

23.6 no máximo 1 em atraso significa nenhum em atraso (15 em dia) ou um (14 em dia), ou seja, pelo menos 14 em dia.

        Já calculado em 23.2

ATENÇÃO:

A variável Y pode ser definida como o número de clientes EM ATRASO dentre os quinze amostrados → Y={0,1,2,3, ..., 15}.

A probabilidade de NÃO estar em dia, ou seja, estar em atraso → P(Sucesso)=p=0,18

A probabilidade de estar em dia → P(Insucesso)=q=0,82

        P(Y=0) = P(X=15) = 0,05096,  

        P(Y=1) = P(X=14) = 0,16779 então P(Y ≤ 1) = P(X ≥ 14) = 0,21875 MESMO valor obtido em 23.2

23.7 E(X), V(X), DP(X) a distribuição é a Binomial assim pode-se calcular os parâmetros por:

(página 60 do livro).

        E(X)=n*p=15*0,82=12,3  isto é espera-se 12,3 clientes em dia entre 15 amostrados

        V(X)=n*p*q=15*0,82*0,18=2,214

e o DP é a raiz quadrada da variância √2,214=1,49 clientes em dia em média

23.8 O número esperado de clientes em atraso para 8000 cadastros será: