Estatistica

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ESTATÍSTICA BATISTA NUNES DE OLIVEIRA

PROBABILIDADE

• As probabilidades existem há muito tempo.
• Os jogos de azar são usados pelo homem desde a Antiguidade e constituem modelos de situações comandados pelo acaso.
• As bases da teoria da probabilidade surgiram somente na metade do século XVII, em uma troca de cartas entre os matemáticos franceses: Blaise Pascal        ( 1623 – 1662) e Pierre de Fermat ( 1601 – 1665).
• Em 1655 o astrônomo, físico e matemático holandês Cristian Huygens ( 1629 – 1695 ) publicou em 1657 o primeiro livro a tratar do cálculo de probabilidades.
• O interesse pelo assunto começou a crescer entre os matemáticos.
• Hoje  não é mais possível pensar em estatística sem pensar em probabilidade.
• A probabilidade constitui a base da estatística indutiva.
• Ela subsidia o estudo dos fenômenos aleatórios.

1. Conceitos básicos de Probabilidade

• Ensaio probabilístico ou ensaio aleatório: são situações de incertezas nas quais, embora não se saiba o que efetivamente vai ocorrer, pode-se listar quais são os resultados possíveis.

Ex: lançamento de um dado, aposta na loteria, etc

• Espaço  Amostral ( S ):  para cada experimento é o conjunto de todos os resultados possíveis.

Ex 1: Considere o lançamento de um dado:  S : { 1,2,3,4,5,6}, isto é,  é possível sair o lado 1, lado2,..., lado 6.

     

• Evento: é cada um dos resultados possíveis de uma situação.

Ex: Lançamento de uma moeda: o evento “cara” tem a probabilidade de ocorrer igual a ½ (50%) e o evento “coroa” tem a mesma probabilidade.

1. Probabilidade

• Grau de crença de que cada evento vai ocorrer.
• Em um estudo de probabilidade relacionada a certo fato, o mais difícil é medir nosso grau de crença na ocorrência de cada um dos eventos.
• Existem três maneiras diferentes de calcular ou estimar probabilidade.

1. O método clássico, quando o espaço amostral tem resultados igualmente prováveis.  

• Considerando que todos os resultados possíveis são equiprováveis, podemos definir probabilidade como sendo:
• Considerando A o evento de  interesse, portanto a possibilidade do evento A:

P ( A ) =  nº de eventos que apresentam A

                 nº total de eventos    

Por exemplo, sabe-se que há 26 cartas pretas sendo 13 de espada e 13 de paus e 26 cartas vermelhas sendo 13 de ouros e 13 de copas, em um baralho comum de 52 cartas, se os curingas não forem considerados. Portanto, a probabilidade de se tirar, às cegas, uma carta vermelha de copas desse baralho é:

    P ( vermelha de copas) =  13/52 = 1/4 = 0,25=25%

1. O método empírico, que se baseia na frequência relativa de ocorrência de um evento num grande número de provas repetidas.

                             

P ( A ) =           ____nº de vezes que A ocorreu

                nº de vezes em que o experimento foi repetido

 

c)        O método subjetivo, que utiliza estimativas pessoais de probabilidades, baseadas num certo grau de crença.

3)        Propriedades das Probabilidade

• A probabilidade de um certo evento A deve estar entre  maior ou igual a 0 e menor ou igual a 1.

               

0 ≤ P ( A )  ≤ 1   ou    0% ≤ P ( A ) ≤ 100%

• Quanto mais próxima a probabilidade de 1, maior será sua chance de ocorrência.
• A um evento impossível atribui-se a probabilidade 0, enquanto que um evento certo tem a probabilidade 1.

1. Operações com Probabilidade

1. Regra da soma

P ( A ou B ) = P ( A U B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A  [pic 2]  B)

Lembre-se que P ( A  [pic 3]  B) é a probabilidade da intersecção dos eventos comuns a A e B

Ex: Lançando um dado que se obtenha um número par ou maior 3.

A: obter par,       B: obter maior que 3

P ( A U B ) =  P ( A ) + P ( B ) – P ( A  [pic 4]  B)

                    = 3/6 + 3/6 – 2/6= 4/6

No caso os elementos comuns são os valores 4 e 6, pois ambos são pares e maior que 3, portanto P ( A  [pic 5]  B) = 2/6

1. Regra da Multiplicação

• A probabilidade de que ocorram, simultaneamente, os eventos E, F, G... é o produto de suas respectivas probabilidades, se estes eventos forem independentes entre si.

P ( E e F e G ....) = P (E ) x P ( F ) x P ( G ) ...

Ex: Lançando um dado tirar o valor 5, depois lançar novamente e tirar 5 novamente.

P(5)xP(5)=1/6x1/6= 1/36

 

1. Regra da probabilidade condicional

A probabilidade de A condicionada por B (ou dado B, ou sabendo que B) é definida por:

[pic 6]

dado [pic 7].

Ex: Uma urna contém 10 bolas brancas, 5 bolas amarelas e 10 bolas pretas. Uma bola  é escolhida ao acaso da urna e verifica-se que não é preta, qual a probabilidade de ser amarela?

A = a bola selecionada é amarela         P(A)=5/25[pic 8]

B = a bola selecionada não é preta          P(B)=15/25        [pic 9]

P(A|B)=[pic 10]

PROBABILIDADE

EXERCÍCIOS

1. Considere uma caixa contendo 10 brindes: 4 livros, 2 celulares, 1 rádio e 3 perfumes. Você tem direito a um destes brindes que serão sorteados. Qual a probabilidade de você:

1. Ganhar um livro:
2. Ganhar um celular:
3. Ganhar um rádio ou um celular:
4. Não ganhar perfume:

1. Experimento: lançar um dado e observar a face superior.

2.1  Qual o é espaço amostral?

2.2 Determinar a probabilidade de cair as faces par do dado?

1. A probabilidade de um estudante obter conceito A em uma disciplina é 40%, conceito B 20%, conceito C 30% e conceito D 10%. Qual a probabilidade deste estudante ter:

1. Conceito A ou B
2. Conceito C ou D
3. Conceito B ou C

1. Determine a probabilidade de :

1. Obter um número menor que 3 no lançamento de um dado:
2. Os três filhos de um casal serem meninos:

1. São jogados um dado azul e um dado verde. Calcule a probabilidade de:

1. ocorrer soma 11:
2. ocorrer soma 3:
3. não ocorrer soma 2 nem soma 8:

1. Uma classe tem 8 meninos e 4 meninas. Se três estudantes são escolhidos ao acaso, qual a probabilidade de que sejam todos meninos?

1. Numa caixa contém 7 moedas de 50 centavos e 5 moedas de 10 centavos. Duas moedas são retiradas ao acaso e sem reposição. Qual a probabilidade e se retirar:

1. R$ 1,00 real
2. R$ 0,60 centavos
3. R$ 5,00 reais
4. R$ 0,20 centavos

8) Qual a probabilidade de tirarmos um rei de copas em um baralho, dado que saiu um naipe vermelho?

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