Atps de matemática aplicada completo

[pic 1]

FACULDADE ANHANGUERA DE VALPARAISO-FVP

CURSO: ADMINISTRAÇÃO

Disciplina: Matemática Aplicada

Prof.

Conceito de derivada e suas aplicações

Técnicas de derivação

Aplicações das derivadas no estudo das funções

Aplicações das derivadas nas áreas econômicas e administrativa

VALPARAISO DE GOIÁS

Junho de 2014

INTRODUÇÃO

Este trabalho tem por objetivo a compreensão do conceito de derivada e situações envolvendo taxa de variação e a aplicação das derivadas no estudo de funções, a fim de auxiliar na resolução dos problemas orçamentários da empresa P&H e sugerir algum tipo de capacitação, como proposto pelo consultor Felipe.

DESENVOLVIMENTO

Etapa 1

CONCEITO DE DERIVADAS E SUAS APLICAÇÕES

No séc. XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções. Foi enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções que Fermat deu conta das limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva como sendo aquela que encontrava a curva num único ponto.

O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas e etc.

O conceito de derivada pode também ser explicada com o conceito de taxa de variação média e taxa de variação instantânea. A taxa de derivação média é representada por definição extraída do PLT 622:

“A taxa de variação média sempre é calculada para intervalos da variável independente, se escrevermos de maneira geral um intervalo de a até b, a taxa de variação média será

m= ” [pic 2]

Podemos ainda colocar uma diferença que chamaremos de h, representando um intervalo, essa alteração podemos chamar de taxa de variação instantânea.

 A taxa de variação instantânea é definida de uma forma melhor pelo PLT 622:

“O cálculo baseia-se em calcular várias taxas de variação média para intervalos de tempo

muito pequenos, cada vez mais próximos do instante x = 3.
Podemos colocar a diferença

Solução:

m=”[pic 3]

Resolução – Passo 2

Encontrar através da aplicação da regra geral de derivação, a derivada da função f(x) = 7x:

f’ (a) = Lim   f ( a + h ) – f (a)

            h      o            h[pic 4]

a = x

f’ (x) = Lim   f ( x + h ) – f (x)

            h      o            h[pic 5]

f ( x + h ) = 7 . (x + h )

f ( x + h ) = 7x + 7h

f ( x ) = 7x[pic 6][pic 7]

f’ (x) = Lim    7x + 7h – 7x

            h      o            h [pic 8]

f’ (x) = Lim    7h  

          h      o   h[pic 9]

[pic 10]

f’ (x) = Lim    7h             f’ (x) = 7

            h      o   h[pic 11][pic 12]

Passo 3 – Anexo 1

Etapa 2

TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO

Segundo os autores (PLT 622, pág. 195), “são procedimentos que permitem encontrar de maneira prática as funções derivadas, ou seja, dada uma função, será aplicada as técnicas  de derivação para obter a derivada”, e também ressalta, “que seu objetivo principal é obter de modo rápido a derivada de uma função dada.”

 É dividido em regras, para deixar de uma maneira mais simplificada sua resolução:

Função Constante

f(x) = k

Sua derivada fica:

f’(x) = 0 , pois a constante é sempre 0 quando não estiver em uma função.

Função de 1º grau

f(x) = m . x + b

Sua derivada fica:

f’(x) = m

Constante multiplicando função

Seja a função f(x) obtida pela multiplicação da função u(x) pela constante k

f(x) =k . u(x)

Sendo u(x) derivável, então a derivada de f(x) será

f’(x) =k . u’(x)

Soma ou Diferença de Funções

Seja a função f(x) obtida pela soma das funções u(x) e v(x):

𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥)+𝑣(𝑥)

sendo u(x) e v(x) deriváveis, então a derivada da função f(x) será  

𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥)+𝑣′(𝑥)  

Potência de X

Seja a função 𝑓(𝑥) = [pic 13]

onde n é um número real, então sua derivada será

𝑓′(𝑥) = [pic 14]

Função Exponencial

Seja a função 𝑓(𝑥) = [pic 15]

onde a > 0 e a ≠ 1, então sua derivada será

𝑓′(𝑥) = . ln 𝑎[pic 16]

Função Exponencial na Base e

Seja a função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑒x

onde e é o número de Euler, então sua derivada será igual ao próprio número de Euler

 𝑓′(𝑥) = 𝑒x

Logaritmo Natural