DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

Universidade Anhanguera – Uniderp

Centro de Educação a Distância

DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

Uma função é uma relação especial, que é definida da seguinte maneira:

Sejam dois conjuntos A e B, tais que para todo elemento x pertencente a A, haja uma correspondência de um elemento y pertencente a B. Essa correspondência é a função: a associação, definida de algum modo, entre todos os elementos de um conjunto e os elementos de outro conjunto.

A função que associa um elemento x a outro valor pode ser indicada por f(x). O aparecimento de x na simbologia da função não ocorre por acaso, uma vez que o valor f(x) depende de x. Por isso mesmo, x é chamada variável independente e f(x) (ou y) é chamada de variável dependente. Matematicamente a função é definida:

, ou mais simplificadamente,

Um exemplo de função:

Dado o conjunto dos números naturais, uma função pode associar cada número ao seu quadrado. Assim, essa função assumiria os valores: { 1,4,9,16,... }.

Uma função pode, na verdade, associar mais de um conjunto a outro; podem haver diversas variáveis independentes. Por exemplo: uma função pode tomar dois valores inteiros e expressar sua soma:

f(x,y) = x + y

No entanto, neste livro será dada mais atenção às funções de uma variável, apenas. São duas características da função enquanto relação:

• Para cada valor assumido pela variável independente (x), há um único valor da variável dependente (y) associado pela função. Consequentemente, se t = f(x) e w = f(x), então t = w.

• a correspondência é total, ou seja, um valor assumido pela variável dependente estará associado para todo valor possível de ser assumido pela variável independente.

A tabela a seguir mostra dois exemplos de relações que não são funções:

Nesse caso, um mesmo elemento (3) do domínio X aparece associado a dois elementos do contradomínio Y (c,d). Aqui a correspondência não é total: falta um valor associado a 1.

Já o diagrama a seguir representa uma função:

Duas funções f(x) e g(x) são ditas iguais (f = g) se e somente se para cada valor de x no domínio D, f(x) e g(x) assumam o mesmo valor:

FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAU

Existem dois tipos especiais de funções:

Uma é a função do primeiro grau quando pode ser expressa na forma:

Função de primeiro grau, definida por y = 6x + 5.

A função do primeiro grau sempre toma no gráfico a forma de pontos colineares. Se o domínio da função for o conjunto R, tem-se uma reta.

O valor da constante a, na função y = ax + b e que tem domínio igual a R, é chamado coeficiente angular da reta que define a função. Ele pode ser obtido a partir da relação entre quaisquer dois pontos da reta (ou valores associados da variável independente e dependente), conforme a equação:

Para o caso específico da constante b ser igual a zero, a função y = ax é chamada função linear.

Função do segundo grau: y = x2.

Já a função do segundo grau toma a forma:

y = ax2 + bx + c

Graficamente, a função do segundo grau é sempre uma parábola, cuja concavidade depende unicamente do sinal da constante a. Se a for negativo, a parábola tem o vértice voltado "para cima"; se a for positivo, a parábola tem o vértice voltado "para baixo". (Considerando a representação usual do plano cartesiano.)

DEFINIÇÃO DE POTÊNCIA

Em matemática, potências são valores que representam uma multiplicação sucessiva de um número, ou seja, representam o mesmo número multiplicado algumas vezes por si mesmo. Uma potência é composta por um número, chamado base, que é multiplicado sucessivamente por si mesmo; e por um índice, chamado expoente, que diz o número de vezes que a base é multiplicada por si mesmo. As potências apresentam-se na forma xn, onde n é o expoente e x é a base.

A potência 43, por exemplo, indica que a base, o número 4, será multiplicada sucessivamente 3 vezes por si mesma, ou seja . Se o expoente é 1, então o resultado tem o valor da base (71 = 7), enquanto que com um expoente 0, devido a regras de operações feitas directamente com potências, o resultado é sempre igual a 1 (160 = 1).

A regra para o expoente zero pode parecer estranha. Mas se não fosse assim, todas as propriedades de potências ficariam mais complicadas. Além disto, quem olhar um gráfico de uma função exponencial vai ver que não poderia ser de outra forma. Enfim, tudo induz para que aceitemos esta forma de definir as potências com expoente 0.

Operações com Potências

Existem várias regras que visam facilitar a resolução de potências. É possível multiplicar e dividir qualquer par de potências que possuam a mesma base, o mesmo expoente, ou os dois iguais.

Multiplicação

Com a mesma base:

Para multiplicar duas potências com as bases iguais e expoentes diferentes, mantem-se a base e somam-se os expoentes.

Com o mesmo expoente:

Para multiplicar duas potências com os expoentes iguais e bases diferentes, mantem-se o expoente e multiplicam-se as bases.

Com a mesma base e o mesmo expoente:

Para multiplicar duas potências com os expoentes iguais e as bases também iguais, pode-se utilizar qualquer uma das regras.

Divisão

Com a mesma base:

Para dividir duas potências com as bases