Equações diferenciais e séries

FACULDADE ANHANGUERA DE  SÃO JOSÉ DOS CAMPOS[pic 1]

CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

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Professor orientador:

Anhanguera Educacional

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Equações diferenciais e séries

Desenvolvendo o estudo das equações diferenciais ordinárias de segunda ordem e dos sistemas de equações diferenciais, utilizando o conteúdo discutido em aplicações da Física e da Biologia.

Resumo

A teoria das equações diferenciais apresenta as noções ao estudo da teoria qualitativa das equações diferenciais ordinárias.

 Estudando das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e algumas das suas aplicações destas em outras ciências.

Palavras-Chave: Equações diferenciais

abstract

The theory of differential equations presents the notions to the study of the qualitative theory of ordinary differential equations.

 Studying ordinary differential equations of first order and some of its applications in these other sciences.

Keywords: Differential equations

[pic 2]   [pic 3]

Sumário

1-        INTRODUÇÃO        

2-        ETAPA 1        

2.1-        EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (E. D. O).        

2.1.1-        HISTÓRICO        

2.1.4-        EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES        

2.1.5-        EQUAÇÕES DE BERNOUILLI        

2.2-        APLICAÇOES DE EQUAÇOES DIFERENCIAIS        

2.2.3-        CIRCUITOS ELÉTRICOS.        

2.2.4-        CIRCUITOS RLC        

3-        ETAPA 2        

3.1-        MÉTODO DOS NÓS        

3.1.1-        CONSIDERANDO O SEGUINTE CIRCUITO:        

3.1.2-        MÉTODO DAS MALHAS        

3.1.3-        IMPLEMENTAÇÃO AO MATLAB        

4-        CONCLUSÃO        

5-        BIBLIOGRAFIA        

1. INTRODUÇÃO

A Teoria das Equações Diferenciais é objeto de intensa atividade de pesquisa que apresenta aspectos puramente matemáticos e uma multiplicidade de aplicações, além de apresentar diversas ramificações, neste texto abordaremos especificamente às equações diferenciais ordinárias (equações que só apresentam derivadas ordinárias – em relação a uma variável).

1. ETAPA 1      

1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS (E. D. O).

1. HISTÓRICO

  Isaac Newton Gottfreied W. Leibniz no século XVII. Newton utou relativamente pouco na área das equações diferenciais, Newton desenvolveu um método para resolver a equação de primeira ordem em que f(x, y) é um polinômio em x e y. Leibniz foi autodidata em matemática, ele compreendia o poder de uma noção de matemática, descobriu método de separação de uma equação ·.[pic 4][pic 5]

 No século XVIII, um dele foi Jakob Bernoulli e seu irmão Johann Bernoulli que se aprofundou no conceito de calculo de Leibniz, ainda no mesmo século Leonhard Euler conseguiu identificar o papel e as estruturas das funções, propriedades e o significado das funções exponenciais, logarítmica, trigonométrica, também desenvolveu uma teoria dos fatores integrantes e encontrou a solução geral para equações de coeficiente constantes  .[pic 6]

1. EQUAÇÃO DIFERENCIAL

 Uma equação diferencial é aquela em que a função incógnita aparece sob a forma da sua derivada. Havendo uma só variável independente as derivadas são ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária.

 +3+2y = 0 ; xy’+y = 3 ;y”’+2(y”)+y’= cos x[pic 7][pic 8]

Havendo duas ou mais variáveis independentes as derivadas são parciais e a equação é denominada equação diferencial parcial.

 = x² + y[pic 9]

1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS

Se numa equação diferencial da forma M( x, y )dx+ N( x, y )dy = 0, é possível decompor os coeficientes M( x, y ) e N( x, y )em fatores tais que as variáveis x e y aparecem separadas, isto é, M( x, y ) = a( x ). b( y ) e N( x, y ) = c( x ).d( y ), a equação classifica-se de variáveis separáveis. Se a equação é de variáveis separáveis então podemos passar da forma canónica M(x, y)dx+ N(x, y) dy = 0 para a forma a(x). b( y )dx +c( x ).d( y )dy= 0 Separando as variáveis x e y, de forma a que os coeficientes de dx e dy sejam respectivamente funções de x e de y, resulta uma equação de variáveis separadas.  

Assim vem:

 dx +  dy = 0[pic 10][pic 11]

Integrando:

 dx + = c[pic 12][pic 13]

1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES

Uma equação de primeira ordem diz-se linear se é do primeiro grau na função incógnita e na sua primeira derivada, podendo representar-se simbolicamente por y'+P(x)y = Q(x) com P(x) e Q(x), funções contínuas. Se Q(x) =0, y'+P(x)y = 0 diz-se uma equação linear homogénea, que é uma equação de variáveis separáveis. Se Q(x) ¹0, a equação linear é não homogénea, completa ou com segundo membro.

Y= [ Q(x) dx + C1][pic 14][pic 15]