Modelo de Black Litterman

Análises Bayesianas de Seleção de Carteiras de Investimento e Suas Prioris

Seleção de carteiras é um dos problemas mais importantes na administração de investimentos. Os primeiros trabalhos são sobre o paradigma da média e variância de Markowitz (1952) que formaliza a troca entre risco e retorno na seleção de carteiras ótimas. O modelo Precificação de Ativos (CAPM) de Merton (1973) passou a incluir a natureza dinâmica de decisões temporais.

O Teorema de Bayes e suas Implicações

O Teorema de Bayes mostra a relação entre duas probabilidades condicionais reversas entre si. A probabilidade condicional ou posteriori de um evento A dado um evento B é observada em termos da probabilidade a priori de A, a probabilidade a priori de B e a probabilidade condicional de B dado A. Assim:

[pic 1]

Nota-se uma falácia comum, ao assumir que , sendo denominada falácia da probabilidade condicional. Substituindo B com observações y, A pelo conjunto paramétrico [pic 3]e as probabilidades Pr com as densidades p, obtêm-se o seguinte:[pic 2]

[pic 4]

Em que [pic 5]é o conjunto das distribuições a priori do conjunto paramétrico [pic 6] antes de y ser observado, [pic 7] é a verosimilhança de y no modelo, e [pic 8] é a distribuição conjunta da posteriori. Esta expressa  uma incerteza sobre o conjunto paramétrico depois da consideração tanto da priori quanto dos dados. O denominador [pic 9] define a verosimilhança marginal de y, ou a distribuição a priori preditiva de y, e pode ser expressa como uma constante [pic 10], uma constante de proporcionalidade [pic 11]. Desta forma:

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Esta distribuição preditiva da priori indica como y deve se parecer, antes mesmo de ser observado. A distribuição do conjunto paramétrico dado y deve ser proporcional à verosimilhança multiplicada pela priori.

A distribuição de probabilidades da priori de um parâmetro [pic 15], ou variável latente, é a distrubuição de probabilidades que expressa uma incerteza sobre o parâmetro antes dos dados serem considerados. Os parâmetros da priori são chamados de hiperparâmetros, para distingui-los do parâmetro [pic 16] do modelo. Pelo teorema de Bayes, a priori é multiplicada pela função de verosimilhança e normalizada para estimar a distribuição de probabilidade a posteriori, que é a distribuição de [pic 17] dados os dados. Desta forma, a distribuição da priori afeta a distribuição a posteriori.

A abrodagem Bayesiana de seleção de carteiras é atrativa. Primeiro, pois usa informação a priori sobre quantidades. Segundo, pois considera riscos e incertezas. Terceiro, pois permite o uso de algoritmos para simular quantidades econômicas complexas.

A análise de carteiras Bayesiana inclui três etapas. Primeiro, a formação da priori. A formação da priori é representada pela função de densidade de probabilidade de parâmetros estocásticos cosiderando a evolução das ações. A densidade da priori pode refletir informações sobre eventos, notícias macroeconômicas, teorias de precificação de ativos e ideias relevantes sobre a dinâmica dos retornos de ativos. Segundo, a formulação da lei de movimento sobre os retornos de ativos. Terceiro, a distribuição preditiva sobre os futuros retornos, que incluirá a informação da priori, a lei de movimento dos ativos, riscos e incertezas. A regra da Carteira Ótima Bayesiana é obtida pela maximização da Utilidade Esperada em relação às Distribuições Preditivas.

Alocação de Ativos quando os Retornos são Independentes e Identicamente Distribuídos

Considere N + 1 ativos para investimento, um deles sendo o ativo livre de risco. Os ativos com risco podem incluir ações, títulos e fundos. Denota-se rft e rt os retornos sobre o ativo livre de risco e sobre o ativo com risco no tempo t, respectivamente. Então, Rt = rt – rft1N é retorno do N-ésimo vetor dimensional no tempo t sobre os ativos com risco, onde 1N é o N-ésimo vetor de uns. A distribuição conjunta de Rt é assumida iid através do tempo, com média μ e a matriz de covariância V.

Considere um investidor que escolhe as proporções (pesos) dos ativos (w) no tempo T a fim de maximizar a seguinte equação quadrática objetiva:

[pic 18]

Onde E e Var representam a média e a variância da taxa de retorno da carteira  a ser realizado no tempo T + 1 e  é o coeficiente relativo de aversão ao risco. Quando  e V são conhecidos, os pesos ótimos da carteira são dados por:[pic 19][pic 20][pic 21]

[pic 22]

A utilidade máxima esperada é:

[pic 23]

Onde  é o Índice de Sharpe ex ante da carteira tangente de ativos com risco. [pic 24]

Na prática, é impossível calcular  porque  e  não são conhecidos. Portanto, a teoria de média-variância pode ser aplicada em dois passos. O primeiro, a matriz de média e covariância dos retornos dos ativos é estimada em dados observados. Isto significa que, dada uma amostra de T observações de retornos, os estimadores de máxima verossimilhança são:[pic 25][pic 26][pic 27]

[pic 28]

[pic 29]’

No segundo passo, as estimativas amostrais são tratadas com se fossem os verdadeiros parâmetros, e são aplicadas na equação (2) para calcular os pesos ótimos da carteira, assim:

[pic 30]

Este procedimento, entretanto, gera um problema de incerteza dos parâmetros, por serem estimados, e não os verdadeiros, usados para calcular os pesos ótimos da carteira. Como consequência, a utilidade relacionada com os pesos pode ser diferente da verdadeira utilidade, . [pic 31]

Considere que [pic 32] é o vetor de parâmetros desconhecidos [pic 33] e V. Matematicamente, este procedimento de dois passos maximiza a utilidade esperada condicional nos parâmetros estimados, denotados por [pic 34], como sendo iguais aos verdadeiros.