Calculo numerico

Introdução

No âmbito da disciplina de Cálculo Numérico foi proposto desenvolver o algoritmo em Visual Basic 2008 Express Edition com respectivo relatório final.

        Este trabalho tem como objectivo um programa para a implementação dos seguintes métodos, Método da Bissecção, Método de Newton-Raphson e resolução manual da Regra do sinal de Descartes, Método de Laguerre-Thibault e Teorema de Budan-Fourrie.

        O programa permitirá a introdução de uma equação polinomial ou selecção de funções pré-definidas, selecção do método de resolução pretendido, visualização dos resultados obtidos no ecrã (interface) e por fim regista-los em ficheiro.

        No que diz respeito ao relatório este irá conter, uma pequena introdução teórica de cada método para uma melhor compreensão do mesmo, o algoritmo do programa para se poder identificar como chegamos a uma funcionalidade correcta em Visual Basic 2008 Express Edition, por fim uma listagem do programa e um estudo completo e os resultados obtidos com o programa.

1-Equações não Lineares

A maioria dos problemas que surgem podem ser expressos por equações lineares do tipo f(x) = a + bx e resolvidos através dos seus métodos de resolução, outros há em que estas equações não se aplicam.

 Assim a resolução de equações não lineares consiste em determinar os valores x que tornam nulo o valor de uma dada função, ou seja, resolver a equação (ex: f(x) = 0).

No que diz respeito, aos métodos de resolução de equações não lineares estes podem ser iterativos, isto é, construindo uma série de soluções aproximadas, x1, x2,...,xn, xn+1, da equação f(x) = 0. À partida, não é possível prever  que o método converge para uma solução aproximada da equação não linear. Por outro lado, se conhecermos pontos a e b que satisfazem f(a).f(b) < 0, será possível garantir a convergência e também o número máximo de iterações requeridas para estimar a precisão desejada.

2- Método da Bissecção

O Método da bissecção consiste em subdivisões sucessivas no intervalo de procura dos zeros da função, melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até o grau de exatidão requerido.

 Para tal temos que seguir os passos que serão de seguida especificados. Os passos referidos são um exemplo simplificado, como chegar aos zeros de uma função utilizando o método acima referido.

Passo 1: Ter conhecimento aproximadamente, do número de iterações que a função irá ter, pela formula [k> Log(b0 – a0) – Log Ʃ / Log2].

Determinar dois limites do intervalo, a e b (fig.1), de modo que pelo menos um zero da função se encontre no intervalo [ a , b ]. Isto é, as relações f(a) <0  e f(b) >0, ou o oposto, terão que se verificar e por sua vez serem válidas. Assim como,  f(a) . f(b) < 0 , se não o ocorrer esta relação a função não apresenta qualquer zero.

[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

Passo 2: Reduzir o limite superior do intervalo para x1 = ( a0 + b0 ) / 2 (cálculo do ponto médio do intervalo).

Após o cálculo do ponto médio, terá que se passar aos critérios de paragem, isto é,  identificar se a diferença dos pontos dado o exemplo |b0 – a0 |< Ʃ (precisão) e  | f(x) | < Ʃ se verifica , se estas duas condições forem verdadeiras este processo termina.

Nota: Este processo só termina quando os critérios de paragem acima identificados forem ambos verdadeiros caso contrário o passo 2 ( iterações) terá que ser repetir quantas vezes forem necessárias.

Estudo das funções:

1º Função:

 [pic 7]

• Método da Bissecção

Estimativa para o número de iterações necessárias com um erro inferior a 10-1 e o intervalo compreendido entre  ]1 ; 1.5[.

Nota: Os cálculos seguintes são válidos para qualquer intervalo considerado.

a0 = 1

b0 = 1.5

ε = 10-1

[pic 8]⬄  k> [pic 9] [pic 10]k> [pic 11][pic 12]k>3

[pic 13]

• 1ª Iteração

a0 = 1

b0 = 1.5

f(a) = 1         

f(b) = -1,65625

Ponto médio [pic 14]

[pic 15] 

f([pic 16])= f(1,25) = - 0,5732421

r ∈ ] 1 ; 1,25 [

Critérios de Paragem:

1º |[pic 17] | ≤ ε [pic 18]|1,25-1| ≤ 10-1 [pic 19]0.25 ≤ 10-1  [pic 20] Falso

2º | f([pic 21])| ≤ ε [pic 22]|- 0,5732421| ≤ 10-1 [pic 23] Falso

• 2ª Iteração

[pic 24]= 1

 [pic 25]= 1,25 [pic 26]

f(a) = 1

f(b) = - 0,5732421

Ponto médio [pic 27]

[pic 28]

f([pic 29])= f(1,125) = 0,2160949

r ∈ ]  1,125 ; 1,25 [

Critérios de Paragem:

1º [pic 30]   ⬄ |1,25 – 1,125│ ≤ 10-1|[pic 31] Falso

...