Co0nceito de calculo numerico

Pretendemos neste cap´ıtulo relembrar alguns conceitos b´asicos, que ir˜ao facilitar a compreens˜ao dos m´etodos num´ericos apresentados nos pr´oximos cap´ıtulos. A maioria dos conceitos aqui apresentados s˜ao de ´algebra linear e isso se deve ao fato de que os resultados da ´algebra linear, em geral, e da teoria dos espa¸cos vetoriais, em particular, na an´alise num´erica ´e t˜ao grande, que estudo pormenorizado desses assuntos cada vez mais se justifica. Assim maiores detalhes sobre os assuntos aqui abordados podem ser encontrados em livros de ´algebra linear.

Para iniciar vamos examinar dois conjuntos que certamente j´a s˜ao conhecidos do leitor. O primeiro ´e o conjunto dos vetores da geometria, definidos atrav´es de segmentos orientados, e o outro ´e o conjunto das matrizes reais m × n. `

A primeira vista pode parecer que tais conjuntos n˜ao possuem nada em comum. Mas n˜ao ´e bem assim conforme mostraremos a seguir.

No conjunto dos vetores est´a definida uma adi¸c˜ao dotada das propriedades comutativa, associativa, al´em da existˆencia do elemento neutro (vetor nulo) e do oposto.

Al´em disso, podemos multiplicar um vetor por um nu´mero real. Essa multiplica¸c˜ao tem as seguintes propriedades (j´a certamente vista por vocˆe no seu curso):

α(u + v) = αu + αv ,

(α + β)u = αu + βu ,

(αβ)u = (αβu) , 1 · u = u ,

onde u, v s˜ao vetores e α, β s˜ao escalares quaisquer.

No conjunto das matrizes tamb´em est´a definida uma adi¸c˜ao dotada tamb´em das propriedades associ-ativa, comutativa, admite elemento neutro, a matriz nula, e toda matriz tem uma oposta.

Como vemos o comportamento do conjunto dos vetores e o das matrizes quanto `a adi¸c˜ao ´e o mesmo. Mas n˜ao param por a´ı as coincidˆencias.

Pode-se tamb´em multiplicar uma matriz por um nu´mero real. Essa multiplica¸c˜ao apresenta as mesmas propriedades que as destacadas para o caso de vetor, ou seja, valem as seguintes igualdades:

α(A + B) = αA + αB ,

(α + β)A = αA + βA ,

(αβ)A = (αβA) ,

1 · A = A ,

1

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B´ASICOS 2

onde A, B s˜ao matrizes e α, β s˜ao escalares quaisquer.

Logo o conjunto dos vetores e o das matrizes apresentam uma certa coincidˆencia estrutural no que se refere a um par importante de opera¸c˜oes definidas sobre eles. Nada ent˜ao mais l´ogico que estudar simultaneamente o conjunto dos vetores, das matrizes e todos os conjuntos que apresentem a mesma estrutura acima apontada.

1.2 Espa¸co Vetorial

Seja E um conjunto e seja K um corpo. Suponhamos que em E esteja definida uma opera¸c˜ao de adi¸c˜ao:

(x,y) ∈ E × E → x + y ∈ E ,

e que esteja definida uma opera¸c˜ao entre os elementos de K e os elementos de E (chamada multiplica¸c˜ao por escalar):

(α,x) ∈ K × E → αx ∈ E .

Ent˜ao E ´e um K-espa¸co vetorial, em rela¸c˜ao a essas opera¸c˜oes, se as seguintes condi¸c˜oes estiverem

satisfeitas:

A1) (x + y) + z = x + (y + z), ∀x,y,z ∈ E ,

A2) x + y = y + x, ∀x,y ∈ E ,

A3) ∃ 0(zero) ∈ E / x + 0 = x, ∀x ∈ E ,

A4) ∀x ∈ E, ∃ − x ∈ E / x + (−x) = 0 ,

M1) α(x + y) = αx + αy, ∀α ∈ K, ∀x,y ∈ E ,

M2) (α + β)x = αx + βx, ∀α,β ∈ K, ∀x,y ∈ E , M3) (αβ)x = (αβx), ∀ α,β ∈ K, ∀x ∈ E , M4) 1 · x = x, ∀ x ∈ E .

O leitor dever´a lembrar-se sempre de que, na defini¸c˜ao acima, n˜ao se especifica nem a natureza dos vetores nem das opera¸c˜oes. Assim qualquer conjunto que satisfa¸ca as oito condi¸c˜oes acima especificada ser´a um espa¸co vetorial.

Defini¸c˜ao 1.1 - Seja E um K-espa¸co vetorial. Os vetores v1,v2,...,vk ∈ E s˜ao linearmente depen-dentes sobre K, se existem escalares α1,α2,...,αk ∈ K, nem todos nulos, tais que:

α1 v1 + α2 v2 + ... + αk vk = 0 .

Observamos que essa rela¸c˜ao ´e sempre v´alida se os αi, i = 1,2,...,k s˜ao todos iguais a zero. Nesse caso dizemos que os vetores s˜ao linearmente independentes.

Defini¸c˜ao 1.2 - Um K-espa¸co vetorial tem dimens˜ao n se:

a) existem n vetores linearmente independentes;

b) (n + 1) vetores s˜ao sempre linearmente dependentes.

Defini¸c˜ao 1.3 - Qualquer conjunto de n vetores linearmente independentes ´e chamado base de um K-espa¸co vetorial de dimens˜ao n.

Assim, qualquer vetor do espa¸co pode ser representado como combina¸c˜ao linear dos vetores da base.

Mudan¸ca de Base

CAP´ITULO 1. CONCEITOS B´ASICOS 3

Estudaremos inicialmente mudan¸ca de base em um espa¸co vetorial bi-dimensional, e a seguir, em um espa¸co de dimens˜ao n.

a) Seja E = IR2. Sejam B1 = {e1,e2} uma base de E e v ∈ E, como mostrados na Figura 1.1.

a22

v2 a21

v0

2

e2

v

v0

1

e0

1

a11v1e1a12