O Projeto da Aula
Por: Felipe Sckio • 15/9/2021 • Projeto de pesquisa • 3.544 Palavras (15 Páginas) • 108 Visualizações
Determinante de uma matriz:
A cada matriz [pic 1] de ordem n, está associado um escalar especial chamado determinante de A, denotado por, [pic 2] ou [pic 3], ou [pic 4]
Salientamos que um quadro [pic 5] de escalares entre duas barras, chamado determinante de ordem n, não é uma matriz, denota o determinante da matriz entre aquelas duas barras.
Determinantes de ordem um, dois e três:
Definem-se como segue os determinantes de ordem um, dois e três:
i) Se [pic 6] é uma matriz de ordem um, ou seja, [pic 7] então:
[pic 8]
ii) Se [pic 9] é uma matriz de ordem dois, ou seja, [pic 10] então:[pic 11][pic 12]
[pic 13]
iii) Se [pic 14] é uma matriz de ordem três, ou seja, [pic 15] então:
[pic 16]
[pic 17]
Exemplos:
1)[pic 18]
2) [pic 19]
3) [pic 20]
Determinante de ordem arbitrária:
Se [pic 21] é uma matriz de ordem n, ou seja, [pic 22]então o seu determinante pode ser obtido por qualquer uma das expressões abaixo:
[pic 23] para algum k fixo tal que [pic 24]
ou,
[pic 25] para algum k fixo tal que [pic 26]
onde [pic 27] denota a matriz obtida da matriz A, eliminando-se a linha i e a coluna j.
Observações:
- Chamamos a primeira expressão de cálculo do determinante da matriz A pela linha k,
e a segunda expressão de cálculo do determinante da matriz A pela coluna k.
2) O determinante de A independe da escolha da linha ou coluna pela qual se desenvolverá o cálculo.
3) Os determinantes de uma matriz e de sua transposta são iguais.
4) Se uma matriz A possui uma linha ou uma coluna nula então [pic 28]
5) Se uma matriz A possui duas linhas ou duas colunas iguais então [pic 29]
6) Se A é uma matriz com determinante nulo então A não é inversível.
Exemplo: Se [pic 30]então:[pic 31][pic 32]
[pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]
=0[pic 37]
OU
|A|= = 0[pic 38]
2) Calcule o determinante da matriz
[pic 39]
= [pic 40]
[pic 41]
[pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]
[pic 53]
=2(0+12+6-0+4-4) -1(0+0+4-0-12+0) =36-(-8)= 44
[pic 54]
Resolução de sistemas pela regra de Cramer
A solução de cada componente do vetor de incógnitas é dada pela relação de dois determinantes: onde:[pic 55]
- [pic 56] = determinante da matriz A
- [pic 57]= determinante da matriz A com a iésima coluna substituída pelo vetor independente b.
Exemplos: Resolva os sistemas pela regra de Cramer
- A = [pic 58][pic 59][pic 60]
[pic 61][pic 62][pic 63]
e 🡺 S={(2,1)} SPD[pic 64][pic 65]
- => e [pic 66][pic 67][pic 68]
= = 16 -16+3 -48 -2+8 = -39 (Δ ≠ 0 SPD)[pic 69][pic 70]
= = -16 -8-30-24+2-80 =-156[pic 71][pic 72]
= = 40+8-6-120+4-4 = -78[pic 73][pic 74]
= = 8 +80-1+16+10+4 = 117[pic 75][pic 76]
, S={(4,2,-3)} SPD (1 solução)[pic 77][pic 78][pic 79]
- => e [pic 80][pic 81][pic 82]
[pic 83]
[pic 84]
impossível SI🡺 S= { }[pic 85]
[pic 86]
EXERCÍCIOS
- Resolva os sistemas pela regra de Cramer:
- [pic 87]
- [pic 88]
- Resolva a equação matricial usando a regra de Cramer.[pic 89]
- Resolva o sistema usando a regra de Cramer.[pic 90]
- Resolva o sistema [pic 91]
= = 4 -1-1-1+2+2 = 5 SPD[pic 92][pic 93]
= = 6-3-6-3+3+12 = 9[pic 94][pic 95]
= = 24+3+3-6-6-6 = 12[pic 96][pic 97]
= = 6-6-3-3+12+3 = 9[pic 98][pic 99]
, [pic 100][pic 101][pic 102]
Inverso 🡪 [pic 103][pic 104]
Oposto -2 é o oposto de 2 🡪 2+(-2) = 0
[pic 105]
Matrizes inversíveis:
Consideraremos apenas matrizes quadradas de ordem n. Consideremos então, a matriz quadrada de ordem n:
[pic 106]chamada matriz identidade de ordem n.
...