O Valor Esperado

[pic 1]

                Somatórios

As fórmulas usadas em estatística têm sua descrição facilitada pelo uso de símbolos matemáticos. Quando os dados consistem de medições de alguma característica em certo número de amostras ou itens, a característica é representada por uma letra latina maiúscula (X, Y, Z...)

Para diferenciar as medições feitas entre as diferentes amostras ou itens, utiliza-se a letra minúscula correspondente com um sub-índice. Assim, por exemplo, a letra X indica que o objeto de estudo é o peso das amostras, sendo que x1 significa o peso da primeira amostra colocada na balança.

Em geral, um valor qualquer é representado por Xi, em que o sub-índice i representa o número de ordem da observação. Quando há n (várias) observações no grupo, i será igual a 1,2,3,4, ... , n.

Dado um grupo de “n” observações, x1, x2, x3, x4, ... , xn, a sua soma é representada por:

n∑ xi = X1 + X2 + X3 + X4 + ... + Xn

Quando não há dúvida que o somatório deverá abranger todos os dados numéricos do grupo, a notação do somatório poderá ser simplificada para:

∑ Xi

Em estatística, muitas vezes é importante obter o quadrado da soma das observações xi. Esta operação é indicada por:

(∑ xi)2 = (X1 + X2 + X3 + X4 + ... + Xn)2

Exemplo. Sejam X1 = 3, x2 = 4, x3 = 1, x4 = 2, x5 = 3, a (∑ xi)2 é igual a:

(∑ xi)2 = (3+4+1+2+3)2 = 132 = 169

Obs. Não confundir com a soma dos quadrados.

∑ xi2 = (X12 + X22 + X32 + X42 + ... + Xn2)

A NOTAÇÃO SIGMA

Para entendermos o básico sobre regras que envolvem somatórios, precisamos entender um pouco sobre a notação sigma. Vamos, como exemplo, expressar a soma dos 4 primeiros números naturais, sem contar o zero. veja como:

1 + 2 + 3 + 4 .

Se fôssemos determinar seus valores numéricos, teríamos

1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Agora, vamos somar tais termos usando uma maneira elegante, compacta, uma notação especial, por meio da letra grega maiúscula [pic 2] (que corresponde à nossa letra S) e deve ser lido como “somatório” ou “soma de”. Veja a seguinte representação:

[pic 3]

LEITURA DA NOTAÇÃO SIGMA

Pode-se lê a notação acima de várias maneiras:

“Somatório de k, desde k = 1 até 4”;

“A soma de todos os termos da forma k quando k assume valores inteiros de 1 (incluindo-o) até 4”;

“Somatório de k, com k variando de 1 a 4”;

“Soma dos valores de k, para k variando de 1 até 4”.

No exemplo acima, o índice do somatório é a variável k. O valor inicial, designado pelo índice k, é chamado limite inferior que, no caso, é igual a 1. A variável k percorre os valores inteiros até alcançar o limite superior  n, que no caso é igual a 4.

Portanto, a soma dos nossos 4 números (1 + 2 + 3 + 4) pode ser representada assim:

[pic 4]

Percebemos que o k assumiu valores inteiros de 1 até 4 e observamos que um somatório, cujo símbolo é dado por sigma, é um operador matemático que pode representar, de maneira compacta, somas com poucos ou infinitos números.

Obs: qualquer letra do alfabeto poderá indicar o índice de um somatório. Observe as letras k, i e j, nos exemplos abaixo:

[pic 5]

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1º) Use a notação sigma para representar a soma dos 8 primeiros números naturais sem o zero (N*).

A soma dos 8 primeiros números naturais é expressa da seguinte maneira:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36.

Agora, vamos representar a expressão acima através de uma maneira compacta, ou seja,  por meio da notação sigma.

Primeiro passo: observe o primeiro número (1) e o último número (8) e posicioná-los, respectivamente, como limite inferior e limite superior.

Segundo passo: observe a variável i, colocando-a na frente do símbolo sigma, pois é ela que percorre os valores inteiros até alcançar o limite superior (n = 8). Veja:

[pic 6]

Note que a variável i percorre os valores inteiros até alcançar o limite superior n, que no caso é igual a 8. Portanto, colocar o i na frente do sigma é o mesmo que escrever a soma dos números dados, veja:

[pic 7]

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2º) Codifique por meio de somatório as seguintes somas:

a) [pic 8]

Nesse exemplo, observe primeiramente, nos números que estão variando: o limite inferior da soma é o 2, limite superior da soma é 5, portanto, coloque o 5 acima do símbolo sigma.

Observe que os expoentes da soma  não variam. Perceba que a forma da função é dada por [pic 9], portanto, coloque-a na frente do sigma. Note que os expoentes (2) da soma não variaram. Já o k variou de 2 até 5. Portanto, a representação da soma é escrita assim:

[pic 10]

Leitura: “a soma de todos os termos da forma [pic 11] quando k assume valores inteiros de 2 (incluindo-o) até 5″ ou “somatório de [pic 12], desde k = 2 até 5.”

Como achar o número de parcelas de um somatório? Note que a diferença entre o valor de n = 5, indicado no extremo superior, e o valor de k = 2  indicado no extremo inferior, acrescida de uma unidade conduz a 4, que é o número de parcelas. Dessa forma, esse somatório é constituído de (5 – 2) + 1 = 4 parcelas.