Taxas em matemática financeira

Taxa Nominal

Quando o valor dos juros são maiores que a taxa a qual se refere denomina-se então de taxa nominal. Esse tipo de taxa não pode ser aplicada diretamente na hora de calcular os juros compostos. Ela é capitalizada mais de uma vez por ano e contempla mais de um pagamento de juros num único período. Alguns Exemplos:

- 340% ao semestre com capitalização mensal.

- 1150% ao ano com capitalização mensal.

- 300% ao ano com capitalização trimestral.

Exemplos:

1) Um empréstimo no valor de R$ 5.000,00 seja pago ao final de seis meses com o valor monetário de R$ 7.000,00. O cálculo da taxa nominal de juros será feita da seguinte forma: juros pagos / valor nominal do empréstimo.  

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Portanto, a taxa nominal de juros de um empréstimo de R$ 5.000,00 que teve como quitação o valor de R$ 7.000,00 teve uma taxa nominal de juros de 40%.

2) Um banco, ao realizar um empréstimo, oferece taxas pré-estabelecidas, emprestando R$ 10.000,00 receberá, no prazo máximo de um ano, o valor de R$ 13.000,00. Se a inflação do período foi de 3%. Determine a taxa real de juros do empréstimo? 

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Portanto, a taxa nominal de juros de um empréstimo de R$ 10.000,00 que teve uma quitação o valor de 13.000,00 teve uma taxa nominal de juros de 30%.

3) Um agiota empresta R$ 20.000,00 para receber R$ 30.000,00 no final de seis meses.

As taxas, no período, são as seguintes:

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        Portanto, a taxa nominal de juros de um empréstimo de R$ 20.000,00 que teve uma quitação no valor de 30.000,00 teve uma taxa nominal de 50%.

Taxa Efetiva

Quando o valor dos juros coincide com o valor da taxa referida tem-se então a taxa efetiva, ou seja, é o que realmente um certo individuo paga por um crédito e/ou aufere de depósitos nos bancos. Elas podem ser aplicadas diretamente nos juros compostos, não se esquecendo de observar se o período e a unidade de tempo estão representados da mesma maneira.

 Alguns Exemplos:

- 140% ao mês com capitalização mensal.

- 250% ao semestre com capitalização semestral.

- 1250% ao ano com capitalização anual.

Exemplos:

1) Um investimento oferece uma taxa nominal 1% ao mês. Se este valor é composto diariamente, qual a taxa efetiva para o mês? Assuma 21 dias úteis no mês.

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2) A Caderneta de poupança paga juros de 6%a.a. com capitalizações mensais.Qual a taxa efetiva dos juros?

Nesse problema, para calcular a taxa efetiva deve-se calcular a taxa anual equivalente a 0,5ª. m .

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3) Um título rende juros de 12%a.a. com capitalizações trimestrais.Qual a taxa efetiva dos juros?

A taxa efetiva é igual a taxa anual equivalente a 3% ao trimestre.

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Taxa Proporcional

Quando há a mesma relação do período de tempo e as duas taxas referidas ambas são proporcionais.

Exemplos:

1. A taxa de 12% a.a é proporcional a taxa de 6% ao semestre, pois:

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1. A Taxa de 5% ao trimestre é proporcional a taxa de 20% a.a, pois:

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3) Para taxa de juros de 19% ao ano, se a capitalização for definida mensalmente (ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano), o percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês será:

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Sistema de amortização

É uma operação usada para quando se contrai uma divida de empréstimo, pagando-se periodicamente, ou seja, com prestações a partir do valor total que será devolvido isso faz com que haja uma amortização da divida, ou seja, que a divida reduza seu tamanho até seu termino, fazendo assim o pagamento do saldo devedor.

A fórmula é:

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Sistema Price (Sistema Frances)

É feito a partir de um empréstimo com n prestações, essas prestações são todas de igual valor, os juros diminuem e a amortização ocorre de maneira crescente, ou seja, ela aumenta conforme as prestações. Nesse caso as parcelas são todas no mesmo valor, pois, os juros decrescem, para que as parcelas sejam todas do mesmo valor as parcelas de amortização são crescentes.

Exemplo:

Um empréstimo de $ 1.000,00 com taxa de juros de 3% ao mês a ser pago em 4 parcelas mensais. Para calcular o valor da parcela, deve-se usar a fórmula de juros compostos combinada com a da progressão geométrica, resultando em:

 

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bem como esta outra fórmula equivalente

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, onde:

[pic 19] Valor da parcela

[pic 20] Valor Presente

[pic 21] Taxa de juros

[pic 22] Número de períodos

No caso do exemplo, o cálculo da parcela [pic 23] é:

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Um mês depois do empréstimo, o saldo devedor cresce 3% indo para $ 1.030,00, porém, como também deve ocorrer o pagamento de $ 269,03, o saldo devedor passa a ser $ 760,97. Perceba que o pagamento da parcela cobriu os juros de $ 30,00 e também fez a amortização de $ 239,03 (1.000,00 - 760,97) do valor emprestado. O mesmo ocorre nos meses seguintes, porém, como o saldo devedor diminui a cada mês o valor das parcelas relativo ao pagamento dos juros é decrescente.

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Sistema de amortização constante (SAC)

É feito a partir de um empréstimo com n prestações essas são decrescentes, seu valor diminui conforme as parcelas são pagas, os juros são decrescentes e as amortizações são constantes e iguais. Nesse caso os juros decrescem e a amortização sempre é do mesmo valor, o valor das parcelas decrescerem por causa da diminuição dos juros.

Exemplo:

Um empréstimo de $ 120.000,00 (cento e vinte mil) a ser pago em 12 meses a uma taxa de juros de 1% ao mês (em juros simples), portanto, o valor da amortização é constante a cada mês, sendo neste caso: