A Derivada

ETAPA 1

Aula-tema: A Derivada

Passo 1

Taxa de Variação Media

Analisando a função f que necessariamente não é uma função de tempo, dizemos logo que o quociente de diferenças é a variação em f dividida pela variação em x.

Ex:

O instante do inicio do expediente é representado por X=0, ou seja, 0:00 hora. Vamos determinar a taxa de variação media da produção para o intervalo de tempo das 3:00 horas até as 4:00 horas também para o intervalo das 4:00 horas até as 5:00 horas (ou seja, para 3≤ X ≤ 4 e para 4 ≤ X ≤ 5.De acordo com a definição dada anteriormente, podemos dizer que a taxa de variação media para esse exemplo será:

Taxa de variação media = VP = ΔP

VX ΔX

Para intervalos de tempo estipulados acima, teremos,

Taxa de variação media de f(x) f(4) –f(3) = 4² - 3² = 16 – 9 = 7 ton/h

Para intervalo 3 até 4 4-3 1

Taxa de variação media de f(x) f(5) –f(4) = 5² - 4² = 25 – 16 = 9 ton/h

Para intervalo 4 até 5 5-4 1

Taxa de Variação instantânea

Definimos a taxa de variação instantânea uma função de variação media em intervalos cada vez menos, essa taxa é chamada de derivada de f em a. para enfatizar que f’(a) é a taxa de variação de f(x) quando a variável X varia, dizemos que f’(a) é derivada de f em relação a X em X = a. Quando a função y=s(t) representa à posição de um objeto a derivada s’(t) é a velocidade.

Ex:

Calcule a taxa de variação da produção para um instante especifico, sendo a taxa de variação instantânea da produção no instante que x=3?

Taxa de variação media de f(x) f(3+h) –f(3)

Para intervalo 3 até 3+h h

Fazemos h=0,1

Taxa de variação media de f(x) f(3+0,1) –f(3) = f( 3,1) –f(3)

Para intervalo 3 até 3+0,1 0,1 0,1

Fazemos h=0,3

Taxa de variação media de f(x) f(3+0,3) –f(3) = f( 3,3) –f(3)

Para intervalo 3 até 3+0,1 0,3 0,3

Passo 2

Função constante: Toda derivada constante é igual a zero

Ex: Se f tem o valor constante f(x)=8, então:

f’’(x) = 0

Função potência: É toda função do tipo y=x^n

Ex:

y = x2

y = x3

y = x4

Vamos analisar, observando o gráfico y = x2 abaixo, onde "n" é um número par:

para "x" positivo, o crescimento da função é cada vez mais rápido:para "x" no intervalo [1,2] temos "y" no intervalo [1,4]; para "x" no intervalo [2,3] temos "y" no intervalo [4,9]; para "x" no intervalo [3,4] temos "y" no intervalo [9,16]; e assim por diante.

para "x" negativo, conforme "x" aumenta, isto é, aproxima-se de zero, a função decresce cada vez mais devagar: para "x" no intervalo [-4,-3] temos "y" no intervalo [16,9]; para "x" no intervalo [-3,-2] temos "y" no intervalo [9,4]; para "x" no intervalo [-2,-1] temos "y" no intervalo [4,1]; e assim por diante.

Passo 3

Se f’ > 0 em um intervalo, então f é crescente nesse intervalo;

Se f’ < 0 em um intervalo, então f é decrescente nesse intervalo;

Se f’ = 0 em um intervalo, então f é constante nesse intervalo;

O módulo de f’ indica o módulo da taxa de variação de f. |f’| grande

indica que a f varia “rapidamente”, enquanto que |f’| pequeno indica que f

varia “lentamente”.

Passo 4

Derivada Segunda:

A derivada de segunda ordem de uma função, ou segunda derivada, representa a derivada da derivada desta função.

Em um ponto ela é a taxa de variação da função derivada no ponto considerado, ela pode ser representada matematicamente da seguinte forma:

Concavidade:

Consideremos o gráfico de uma função crescente de concavidade voltada para cima

Pela inclinação da tangente verificamos que a derivada da função é positiva e crescente, consequentemente a derivada segunda é positiva.

Consideremos o gráfico de uma função crescente de concavidade voltada para baixo:

Pela inclinação da tangente verificamos que a derivada da função é positiva e decrescente, consequentemente a derivada segunda é negativa.

Portanto podemos chegar a conclusão de que o sinal da derivada segunda de uma função indica a orientação da concavidade de seu gráfico.

ETAPA