A derivada da função

eito:

Vinhemos por meio deste manifesto informar que o valor do cartão de alimentação

(Refeição Pass.) necessita de um reajuste pois desde o inicio do seu uso o valor continua o mesmo , que é de apenas R$ 8,00 . Atenciosamente os funcionários da Viação Galo Branco S/A.

NOME MATRICULA

1. Introdução

Vamos considerar duas grandezas, x e y, que variam de forma tal que y é uma função de x, isto é, y = f(x).

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x =〖 x〗_0, é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto x =〖 x〗_0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto〖 x〗_0.

Vamos construir o gráfico:

A esse valor ∆x=x-x_0 denominamos incremento da variável x

A esse valor ∆y=f(x)-f(x_0), denominamos incremento da função y = f(x).

Exemplo:

Seja a função f(x) = 2x + 10

Se x passa de 3 para 8, por exemplo, temos:

1.1 Definição de razão incremental

Denomina-se razão incremental da função y = f(x) relativa ao ponto x_0, a expressão ∆y/∆x

Assim, temos:

∆y/∆x=(f(x)-f(x_0))/(x-x_0 ) ou ∆y/∆x=(f(x_0+∆x)-f(x_0))/(x-x_0 )

Exemplo:

Calcular a razão incremental da função f(x) = 2x + 3 relativa ao ponto x_0=3.

1.2 Exercícios:

1) Calcule a razão incremental:

da função f(x)=x^2-1 relativa ao ponto x_0=2.

da função f(x)=x^2-2x+1 relativa ao ponto x_0=1.

2. Derivada num ponto

Denomina-se derivada de uma função y = f(x) no ponto x_0, que se indica por f^' (x_0 ), (∂f(x))/∂x ,df(x)/dx o limite finito, caso exista, da razão incremental da função, quando ∆x□(→┬ ) 0.

Daí

f^' (x_0 )=derivada de f(x)no ponto x_0=lim┬(∆x□(→┬ ) 0)⁡〖∆y/∆x〗

Pode-se, então, escrever:

Observações:

Se a função y = f(x) admite derivada em um ponto x_0, dizemos que a função é derivável nesse ponto.

A derivada em um ponto x_0, quando existe, é única.

Quando a razão Incremental da função, relativa ao ponto x_0, tem por limite +∞ ou -∞, dizemos que a função y = f(x), não tem derivada nesse ponto.

Vejamos como determinar a derivada de uma função y = f(x) no ponto x_0, aplicando a definição.

1º exemplo:

Determinar a derivada de f(x)=3x^2 no ponto x_0=5

2º 2º exemplo:

Dado y=f(x)=x^2-2x, calcular f ’(2).

3º exemplo:

Dado f(x)=√x, calcular a derivada de f(x), se existir, no ponto x = 0.

3. Derivadas fundamentais:

Nesta unidade, estudaremos o cálculo das derivadas, de modo a obtermos regras de derivação que irão nos permitir calcular a derivada de uma função f(x), sem termos que aplicar a definição. Vejamos, pois, algumas derivadas fundamentais.

3.1 Regras de derivação:

Seja k uma constante.

Considere f’(x) a derivada de f(x).

Logo teremos:

3.1.1 Função constante: f(x)=k□(⇒┬ )f^' (x)=0

3.1.2 Função identidade: f(x)=x□(⇒┬ )f^' (x)=1

3.1.3 Função potência: f(x)=x^n □(⇒┬ )f^' (x)=n .x^(n-1)

Exemplos:

1) f(x)=x^2 □(⇒┬ )

2) f(x)=x^(-2) □(⇒┬ )