ATPS MATEMÁTICA FINANCEIRA

Sumário

Introdução

Abstract

Desenvolvimento

Conceitos

A matemática financeira é uma disciplina que agrupa algumas técnicas de matemática para resolver problemas de fluxo de caixa e de equivalência de capitais, tanto em regime de juros simples como de juros capitalizados.

Quando você vê em uma propaganda: "Compre uma televisão à vista por $ 1.000 ou a prazo em 5 parcelas de $ 260" você, provavelmente, pensaria: "É melhor comprar a prazo, pois prefiro pagar parcelado e, em apenas 5 meses, eu acabo de pagar. Mas você esqueceu de pensar em um "detalhe": 5 parcelas de $ 260 somam o equivalente a $ 1.300 – que é 30% a mais do que a oferta à vista ($ 1.000). São em situações como essas que você percebe como a matemática financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimento ou financiamento de bens de consumo. Ela consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira.

A solução para este problema (ou seja, é melhor pagar à vista ou a prazo?) é baseada no valor da taxa de juros que você (que vai pagar pelo bem) considera uma taxa aceitável. Se os juros deste parcelamento forem menores que esta taxa, então pagar em prestações é um bom negócio, caso contrário, é melhor pagar à vista.

Capitalização Simples

Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, não incide, pois, sobre os juros acumulados. A taxa varia linearmente em função do tempo. Se quisermos converter a taxa diária em mensal, basta multiplicar a taxa diária por 30; se desejarmos uma taxa anual e tendo a mensal, basta multiplicar por 12, e assim por diante.

Cálculo dos Juros

Valor dos juros é obtido da expressão: J = C x i x n onde:

j = valor dos juros

C = valor do capital inicial ou principal

i = taxa

n = prazo

M = montante final

Exemplo de aplicação

1 - Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 10.000,00, pelo prazo de 15 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% a m.?

Dados:

C = 10.000,00

n = 15 meses

i = 3% a m.

j = ?

solução:

j = C x i x n

j = 10.000,00 x 0,03 (3/100) x 15 = 4.500,00

Observação: Quando o prazo informado for a dias, a taxa resultante dos cálculos será diária; se o prazo for a meses, a taxa será mensal; se for a trimestre, a taxa será trimestral, e assim sucessivamente.

Juros Simples

O regime de juros simples é aquele no qual os juros incidem sempre sobre o capital inicial. Este sistema não é utilizado na prática nas operações comerciais, mas, a análise desse tema, como introdução à Matemática Financeira, é de certa forma, importante.

Considere o capital inicial P aplicado a juros simples de taxa i por período, durante n períodos.

Lembrando que os juros simples incidem sempre sobre o capital inicial, podemos escrever a seguinte fórmula, facilmente demonstrável:

J = P . i . n = Pin

J = juros produzidos depois de n períodos, do capital P aplicado a uma taxa de juros por período igual a i.

No final de n períodos, é claro que o capital será igual ao capital inicial adicionado aos juros produzidos no período. O capital inicial adicionado aos juros do período é denominado MONTANTE (M).

Logo, teríamos:

M = P + J = P + P.i.n = P(1 + i.n) Portanto, M = P(1+in).

Capitalização Composta

Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização a taxa varia exponencialmente em função do tempo.

O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da divida.

A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, M, o montante, C, o capital inicial, n, o período e i, a taxa. A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é pouco mais complexa que aquela já vista para a capitalização simples.

Juros Compostos

O atual sistema financeiro utiliza o regime de juros compostos, pois ele oferece uma maior rentabilidade se comparado ao regime de juros simples, onde o valor dos rendimentos se torna fixo, e no caso do composto o juro incide mês a mês de acordo com o somatório acumulativo do capital com o rendimento mensal, isto é, prática do juro sobre juro. As modalidades de investimentos e financiamentos são calculadas de acordo com esse modelo de investimento, pois ele oferece um maior rendimento, originando mais lucro.

Considere que uma pessoa aplique R$ 500,00 durante 8 meses em um banco que paga 1% de juro ao mês. Qual será o valor ao final da aplicação?

A tabela demonstrará mês a mês a movimentação financeira na aplicação do regime de juros compostos.

No final do 8º mês o montante será de R$ 541,43.

Uma expressão matemática utilizada no cálculo dos juros compostos é a seguinte:

M = C * (1 + i)t, onde:

M: montante

C: capital

i: taxa de juros

t: tempo de aplicação

Obs.: Os cálculos envolvendo juros compostos exigem conhecimentos de manuseio de uma calculadora científica.

A HP 12C é uma calculadora financeira programável utilizada na execução de cálculos financeiros envolvendo juros compostos,