Derivada

Derivada

O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de umafunção, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação dataxa de crescimento de uma certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa deredução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ouobjetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma funçãovariando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento. Paraentendermos como isso se dá, inicialmente vejamos a definição matemática da derivada de umafunção em um ponto:

Definição: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0, então a derivada de fem x0, denotada por f ’(x0), é dada por:

f ’(x0)=lim┬(x→0)⁡〖(f(x_0+ ∆x)-f(x_0))/∆x〗

se este limite existir. Δxrepresenta uma pequena variação em x, próximo de x0, ou seja, tomando x=x_(0 )+∆x( ∆x=x-x_0), a derivada de f em x0 pode também se expressa por

f ’(x0)=lim┬(x→0)⁡〖(f(x)-f(x_0))/(x-x_0 )〗

Interpretação física: a derivada de uma função f em um ponto x0fornece taxa de variaçãoinstantânea de f em x0. Vejamos como isso ocorre:

Suponha que y seja uma função de x, ou seja, y = f(x). Se x variar de um valor x0 até um valorx1, representaremos esta variação de x, que também é chamada de incremento de x, por Δx= x1 - x0,e a variação de y é dada por Δy= f(x1)-f (x0), o que é ilustrado na figura a seguir:

O quociente das diferenças, dado por

1 0

1 0 ( ) ( )

xx

f x f x

x

y

−

−







, é dito taxa de variação média de y em

relação a x, no intervalo [x0, x1 ]. O limite destas taxas médias de variação, quando DxO 0, é

chamado de taxa de variação instantânea de y em relação a x, em x = x0. Assim, temos:

Taxa de variação instantânea =

x

f x x f x

xx

f x f x

xxx

−



−

−



( ) ( )

lim

( ) ( )

lim0 0

0

1 0

1