Derivada no ponto x0

Derivada no ponto x0

• Definição

Seja ƒ uma função definida em um intervalo aberto I e x0 elemento de I. Chama – se derivada de ƒ no ponto x0 o limite

se existir e for finito.

A derivada de ƒ no ponto x0 é habitualmente indicada como uma das seguintes notações:

A diferença ∆x = x - x0 é chamada de acréscimo ou incremento da variável x relativamente ao ponto x0. A diferença ∆y = ƒ(x) – ƒ(x0) é chamada de acréscimo ou incremento da função ƒ relativamente ao ponto x0. O quociente recebe o nome de razão incremental de ƒ relativamente ao ponto x0.

Frisemos que a derivada de ƒ no ponto x0 pode ser indicada das seguintes formas:

EXERCÍCIOS

01. Nos problemas que seguem, calcule ƒ’(x0). (0,5 pts)

a) ƒ(x) = 3x + 1, x0 = 2

b) ƒ(x)= x² + 2x + 5, x0 = 1

c) ƒ(x)= x³, x0 = -1

d) ƒ(x)= √x, x0 = 1

e) ƒ(x)= 2x , x0 =3

Interpretação geométrica da derivada

• Fórmulas

y – y0 = a( x – x0 )

02. Determine, em cada caso, a equação da reta tangente ao gráfico de ƒ no ponto x0. (0,5 pts)

a) ƒ(x) = 4x – x², xo = 1

b) ƒ(x) = x - x³, xo = 1

03. Encontre uma equação da reta tangente à hipérbole y = 3/x no ponto (3,y).

(0,5 pts)

04. Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x² no ponto P (1,1).

(0,5 pts)

05. Encontre a equação da reta tangente à parábola y = x² - 8x + 9 no ponto (3, y0). (0,5 pts)

06. Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. (0,5 pts)

Y = √x, (1,1).