Equações diferenciais ordinárias

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E ORDINÁRIAS

PROF. JORGE LÚCIO  MSc.

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Equações Diferenciais

Definição: Toda equação cujas incógnitas são funções e que contém pelo menos uma derivada ou diferencial destas funções, denomina-se equação de diferencial.

[pic 1][pic 2]

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Classificação:

A função y denominada incógnita de uma variável independente

x.

Quando existe apenas uma variável independente, a equação é denominada ordinária ( no caso dos cinco primeiros exemplos); quando há mais de uma variável livre, equação diferencial de derivadas parciais (no caso do sexto exemplo).

Existem ainda as equações de diferenciais totais e as equações integrais. Estas últimas transcendendo as finalidades dos estudos de equações diferenciais.

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ORDEM:

A ordem de uma equação diferencial é determinada pela ordem de mais alta ordem contida na equação.

GRAU:

Supondo-se a equação escrita sob forma racional inteira em relação ã derivadas, o grau da equação é o maior dos expoentes a que está elevada a derivada de mais alta ordem contida na equação.

[pic 3][pic 4]

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Exemplo1:

a)	∫ dy = ∫ 3 xdx − ∫dx
	∫ dy = 3∫ xdx − x
	∫dy = 3	x2	− x
	2
	∫dy =	3x2	− x + c
	2

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Integral definição:

⎧	n +1
⎪	x		+ k se n ≠ -1
∫ x n dx = ⎨n +1
⎪
⎩(ln x) + k se n= -1(x > 0)

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        [pic 5]

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[pic 6]

Exemplo 1:

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a)	Derivando temos:    y =		3		x 2  − x + 6
2
		dy		=	3	⋅ 2 x −1
		dx
		2
		dy		= 3 ⋅ x −1
b)		dx
	Derivando temos:

[pic 7]

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c ) y = Cx	2
dy	=	2Cx, como C =	y	, temos:
dx	x	2
dy	=	2x ⋅	y	, Logo :
dx	x	2
dy	=	2 y
dx	x

[pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

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d ) y = C1 x 2 + C2

dydx = 2C1 x, termo (a)

d 2 y = 2C1 , termo (b)

dx2

dy = d 2 y x, logo teremos:

dx        dx2

x d 2 y − dy = 0

dx 2        dx

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