Matriz

INTRODUÇÃO

Os conceitos básicos sobre matrizes aparecem naturalmente na resolução de muitos tipos de problemas e são essenciais, não apenas porque eles "ordenam e simplificam" o problema, mas também porque fornecem novos métodos de resolução.

A matriz não é só usada na matemática em si, mas também na engenharia, criptografia, informática, etc. A matriz é formada por produtos postos em linhas (i) e colunas (j).

Para a construção de uma matriz existem regras que devem ser seguidas. Uma matriz determinante possui o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, trata-se de uma matriz quadrada.

MATRIZES

Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos em linha e colunas. Por exemplo, ao recolhermos os dados referentes à altura, peso e idade de um grupo de quatro pessoas, podemos dispô-los na tabela:

Elementos básicos para a construção de Matrizes

Aqui tomaremos o conjunto N dos números naturais, como:

N={1,2,3,4,5,6,7,…}

O produto cartesiano N×N indicará o conjunto de todos os pares ordenados da forma (a,b), onde a e b são números naturais, isto é:

N×N={(a,b): a e b são números naturais }

Uma relação importante em N×N é:

Smn={(i,j): 1<i<m, 1<j<n}

Definição de Matriz

Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smn associa um número real (ou complexo).

Uma forma comum e prática para representar uma matriz definida na forma acima são através de uma tabela contendo m×n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra A.

Definições básicas sobre Matrizes

Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n;

Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j);

Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)];

Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j;

Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n;

A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:

a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), …, a(n-1,2), a(n,1)

Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal;

Matriz real é aquela que tem números reais como elementos;

Matriz complexa é aquela que tem números complexos como elementos;

Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais à zero;

Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal principal;

Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos;.

Tipos e exemplos de Matrizes

Matriz Nula:É a matriz onde todos os elementos são nulos.

Matriz Oposta:Matriz oposta de uma matriz A = (aij)mxn é a matriz B = (bij)mxn tal que bij = -aij.

Observação: uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de elementos em suas linhas e colunas ou apenas por características especificas.

Matriz Linhas:

A1x3= (■(-5&1&2))

Matriz Coluna:Recebe o nome de matriz coluna toda matriz que possuir apenas uma coluna O numero de linhas é independente. Por exemplo:

5x1

Matriz Quadrada:Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma diagonal secundária e uma diagonal principal.

Matriz diagonal:Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os elementos não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não. Por exemplo:

Matriz Identidade:Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser iguais a 1 e 0 restante dos elementos iguais a zero. Veja o exemplo:

Matriz Oposta:Dada a matriz B, a matriz oposta a ela é -B. Se tivermos uma matriz:

A matriz oposta a ela será:

Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta trocar os sinais dos elementos.

Matrizes iguais ou igualdade de matrizes:

Dada uma matriz A e uma matriz B, as duas poderão ser iguais se somente se seus elementos correspondentes forem iguais.

As matrizes A e B são iguais, pois seus elementos correspondentes são iguais.