OBTIDO DE FUNCIONAMENTO LOGARÍVEL E TRIGONOMETRIA REVERSA

Texto 08. Cálculo II

Curso de Engenharia Prof. José Norberto Reinprecht

Livro texto PLT – seção 3.5 . - pág.110.

8. DERIVADAS DE FUNÇÕES LOGARÍTMICAS

E

TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

8.1 Derivada da função ƒ(x) = ln x.

Sabemos que: xe x =ln

Derivando-se ambos os membros da igualdade acima, em relação a x:

]'[]'[ ln xe x =

Aplicando a regra da cadeia, temos:

1)'ln(ln =xe x

1)'ln(. =xx

Portanto,

x

x

1)'ln( =

No caso da função composta, temos:

u

u

u

')'ln( =

Exemplo 1.

)1(ln 2 321

u

xy += ( PLT - exemplo 1a – pág. 116 )

1

)'1(

' 2

2

+

+

=

x

xy

Portanto,

1

2

' 2 +

=

x

xy

Exemplo 2.

{{

vu

tty ln.2= ( PLT - exemplo 1b – pág. 116 )

t

ttttttty 1.ln2)(lnln.)'(' 222 +=+=

Portanto, ttty += ln.2'

8.2 Derivada da função ƒ(x) = arc sen x.

Sabemos que: xxsenarcsen =)( ,

22

pipi

<<− x

Derivando-se ambos os membros da igualdade acima, em relação a x:

']['])([ xxsenarcsen =

Aplicando a regra da cadeia, temos:

( ) 1')(cos =xsenarcxsenarc

( ) )(cos

1

'

xsenarc

xsenarc =

Mas,

1cos22 =+ θθsen

Assim,

1)(cos)( 22 =+ xsenarcxsenarcsen

)(1)(cos 22 xsenarcsenxsenarc −=

)(1)(cos 2 xsenarcsenxsenarc −±=

)(1)(cos 2 xsenarcsenxsenarc −= , pois

22

pipi