Dimensionamento Elevador de Canecos

Dupla:Gustavo Goncalves e Heitor Hering

Integração numérica-Regra do trapézio

Introdução

Da mesma forma como apresentamos nos posts sobre derivação numérica, a integração numérica consiste em uma espécie de interpolação. A ideia é substituir uma função complicada f(x) por outra composta por operações mais simples e fácil de se integrar. Além disso, como mostramos em diversos posts relacionados aos métodos de interpolação, as fórmulas mais simples que podemos obter são polinômios. Assim, podemos obter esses polinômios através da fórmula de Taylor ou outra estratégia.Tais polinômios gerados para integração numérica são chamados de fórmulas de Newton-Cotes, que possuem a seguinte forma de aproximação

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onde fn(x) é um polinômio na forma

[pic 2]

onde n é o grau do polinômio. Por exemplo, na figura abaixo os gráficos mostram a função original f(x) em vermelho e duas aproximações distintas em azul. No gráfico da esquerda, um polinômio de primeiro grau (reta) é usado para aproximar a função em duas divisões. O gráfico da direita utiliza um polinômio de grau maior para aproximar a função em cada intervalo.

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Da figura acima também podemos notar que a integral é melhor aproximada se usarmos uma série de polinômios aplicados por partes à função f(x), dividindo-se o intervalo de integração em sub-intervalos menores.

Regra do Trapezio

A regra do trapézio consiste na utilização de fn(x) com n=1 . Portanto, ela corresponde à primeira fórmula de Newton-Cotes:

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A área sob f1(x) é uma estimativa da integral de f(x) entre os extremos a e b . Para obtermos essa estimativa, expressamos a equação acima como

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Agrupando os dois últimos termos, obtemos

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Ou

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que é então integrada, fornecendo

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Na expressão integrada que vemos acima, usamos o intervalo delimitado por x=a e x=b . Esse resultado pode ser calculado por

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Agora, como b2−a2=(b−a)(b+a) , temos

[pic 10]

que ao fazermos a multiplicação e agruparmos os termos, temos

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que é a fórmula da regra dos trapézios.

Divisão de intervalos         

Para melhorar a acurácia da integração, devemos dividir o intervalo de integração de a e b em diversos segmentos e aplicar o método a cada asegmento. Cada área correspondente aos segmentos individuais podem então ser somadas para fornecer a integral para o intervalo inteiro. A figura abaixo mostra como um conjunto de trapézios formados em cada subintervalo dividido se aproxima da integral.

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Dividindo o intervalo de integração [a,b] em n partes, temos n segmentos de mesma largura tal que

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Se a e b forem respectivamente renomeados por x0 e xn , a integral total pode ser obtida por

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Substituindo cada integral pela regra do trapézio, obtemos

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Agrupando os termos da equação acima, temos

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que é a expressão usada na implementação da regra dos trapézios.

Estimativa do erro

Como a soma dos coeficientes de f(x) no numerador dividido por 2n é igual a 1, a altura média representa uma média ponderada dos valores da função. De acordo com a última equação apresentada na seção anterior, os pontos interiores tem um peso duas vezes maior do que as extremidades. Assim, um erro para a aplicação múltipla da regra dos trapézios pode ser obtido pela soma dos erros individuais em cada segmento, o que dá