Elementos geométricos Diferencial em R3

Elementos de Geometria

Diferencial em R3

Neste capÌtulo pretende-se que o aluno:

 Adquira a noÁ„o de curva, entenda a import‚ncia da parametrizaÁ„o

de curvas e reconheÁa a vantagem de algumas reparametrizaÁıes.

 Utilize adequadamente a funÁ„o comprimento de arco.

 Associe a cada curva as funÁıes escalares curvatura e torÁ„o.

 Interprete e calcule num ponto da curva: recta tangente, recta normal,

recta binormal, plano osculador, plano normal e plano rectiÖcante.

 Calcule e interprete o triedro de Frenet-Serret.

 Parametrize uma superfÌcie.

 Calcule as expressıes do plano tangente e da recta normal a uma

superfÌcie.

 Adquira o conceito de superfÌcie orient·vel.

 Utilize software adequado para visualizaÁ„o geomÈtrica e auxÌlio ‡ res-

oluÁ„o de problemas.

910CAPÕTULO 1. ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL EMR3

1.1 Generalidades sobre o espaÁo Rn

Rever alguns conceitos (j· abordados em An·lise Matem·tica II) sobre:

 espaÁo vectorial Rn e operaÁıes nele deÖnidos, tais como: dist‚ncia,

produto interno (ou produto escalar), norma, produto externo (ou

produto vectorial),...

 funÁıes vectoriais de vari·vel real;

 limites e continuidade;

 diferenciabilidade e integrabilidade;

1.2 Curvas de nÌvel e curvas parametrizadas

Intuitivamente existe uma noÁ„o de curva. Mesmo sem uma deÖniÁ„o

formal apontam-se exemplos e atÈ se exibem as respectivas equaÁıes carte-

sianas: rectas, par·bolas, circunferÍncia,...

Estas curvas s„o descritas por meio duma equaÁ„o cartesiana f(x; y) = c:

Neste ponto de vista, uma curva È um conjunto de pontos. Se for uma curva

plana ser·

C = f(x; y) 2 R2

: f(x; y) = cg;

para c 2 R:

No espaÁo R3 uma curva pode ser deÖnida por um par de equaÁıes

f1(x; y; z) = c1; f2(x; y; z) = c2;

com f1; f2 : R3 ! R. Por exemplo, o eixo OZ em R3 È a recta dada pelo

conjunto

f(x; y; z) 2 R3

: x = y = 0g:

Este tipo de curvas s„o designadas por curvas de nÌvel. Por exemplo,

a curva dada por C È o conjunto de pontos (x; y) do plano nos quais a

quantidade f(x; y) atinge o ìnÌvelîc.

Por vezes È mais ˙til considerar uma curva como o caminho percorrido

por um ponto a mover-se no espaÁo, pelo que se torna necess·rio uma ex-

press„o que indique a posiÁ„o do ponto mÛvel em funÁ„o de um par‚metro

(tempo, ‚ngulo,...). A deÖniÁ„o inclui ambos os casos (R2 e R3) em simult‚-

neo:1.3. COMPRIMENTO DE ARCO 11

DeÖniÁ„o 1.2.1 Uma curva parametrizada em Rn È uma funÁ„o

:

I ! Rn deÖnida num intervalo I de R.

¿ imagem

(I) de uma curva parametrizada chamamos traÁo (ou trajectÛria

ou caminho da curva).

Uma curva parametrizada cujo traÁo esteja contido numa curva C diz-se

uma parametrizaÁ„o de C, ou de uma parte de C.

Para sublinhar a diferenÁa entre a curva parametrizada e o traÁo, bem

como a vantagem destas em relaÁ„o ‡s curvas de nÌvel, veja-se a seguinte

situaÁ„o:

Um caracol desloca-se de um ponto A atÈ um ponto B, marcando-se em

cada instante t a sua posiÁ„o, iniciada, para t = 0; em A. Quando chegar a

B ter· percorrido um caminho.

O mesmo efeito pode ser obtido se se seguir o rasto do caracol.

Contudo existe uma diferenÁa signiÖcativa entre os dois processos. No

segundo caso, olhando o rasto do caracol, n„o È possÌvel dizer se esteve

parado algum tempo num ou em v·rios pontos. Nem t„o pouco se poder·

saber se passou v·rias vezes pelo mesmo ponto, se repetiu alguma parte do

caminho, por exemplo se andou para tr·s e para a frente.

ExercÌcio 1.2.2 Determine uma curva parametrizada

que represente a

linha recta que passa pelos pontos A=(1,-2,3) e B=(-3,0,4).

VeriÖque que essa parametrizaÁ„o n„o È ˙nica.

DeÖniÁ„o 1.2.3 Uma curva parametrizada

diz-se de classe Ck; (k 2

N0); notando-se por

2 Ck; se existirem e forem contÌnuas todas as suas

derivadas atÈ ‡ ordem k:

;

0

; :::;

(k)

:

A