Matriz

Matriz (matemática)

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Em matemática, uma matriz m \times n é uma tabela de m linhas e n colunas de símbolos sobre um conjunto, normalmente um corpo, F, representada sob a forma de um quadro. As matrizes são muito utilizadas para a resolução de sistemas de equações lineares e transformações lineares.

Organização de uma matriz i= LInha horizontal (seta verde) J= Coluna Vertical (seta azul)

Índice [esconder]

1 Notação

2 Classificação

2.1 Matriz quadrada

2.2 Vetor

3 Classificação de matrizes quanto às suas propriedades

3.1 Matriz identidade

3.2 Matriz inversa

3.3 Matriz transposta

3.4 Matriz simétrica

3.5 Matriz positiva/negativa (semi)definida

4 Operações envolvendo matrizes

4.1 Multiplicação por um escalar

4.2 Adição e subtração entre matrizes

4.3 Multiplicação de matrizes

5 Propriedades

5.1 Determinante

5.2 Transposta da multiplicação

5.3 Característica

6 Ver também

7 Referências

Notação[editar | editar código-fonte]

As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas. Logo uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m \times n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem. Por exemplo, a matriz a seguir é uma matriz de ordem 2 \times 3 com elementos naturais.

A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}

Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A. Ele é escrito como a_{ij} ou a[i,j]. Nesse exemplo, o elemento a_{12} é 2, o número na primeira linha e segunda coluna do quadro.

A = \begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\

a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}

\end{bmatrix}

As entradas (símbolos) de uma matriz também podem ser definidas de acordo com seus índices i e j. Por exemplo, a_{i j} = i + j, para i de 1 a 3 e j de 1 a 2, define a matriz A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \\ 4 & 5\end{bmatrix}, de ordem 3 \times 2.

Nas linguagens de programação, os elementos da matriz podem estar indexados a partir de 1 (Fortran, MATLAB, R, etc) ou a partir de 0 (C e seus dialetos). Por exemplo, o elemento a(1,1) em Fortran corresponde ao elemento a[0][0] em C.

Classificação[editar | editar código-fonte]

Matriz quadrada[editar | editar código-fonte]

Uma matriz é dita quadrada se tem o mesmo número de linhas e colunas, ou seja, quando podemos dizer que, m tem a mesma quantidade de elementos que n. Numa matriz quadrada A de ordem n \times n, a diagonal principal é aquela formada pelos elementos a_{ij} tais que i = j, para i de 1 a n. Exemplos:

\begin{bmatrix}

1 & 3 & 2 \\

1 & 0 & 0 \\

1 & 2 & 2

\end{bmatrix}

Vetor[editar | editar código-fonte]

Uma matriz onde uma de suas dimensões é igual a 1 é geralmente chamada de vetor. Uma matriz 1 \times n (uma linha e n colunas) é chamada de vetor linha ou matriz linha, e uma matriz m \times 1 (uma coluna e m linhas) é chamada de vetor coluna ou matriz coluna.

Classificação de matrizes quanto às suas propriedades[editar | editar código-fonte]

Tipo de matriz é quadrada? Tem inversa? Qual é sua transposta? Positiva/ negativa definida?

Matriz identidade I_n Sempre Sim, ela mesma: I_n Ela mesma, I_n (é uma matriz simétrica) Sempre é positiva definida

Matriz inversa B^{-1} Sempre Sim, e é igual à matriz original, B \left ( {B}^{-1} \right )^\intercal Positiva definida se B for positiva definida

Matriz singular C Sempre Nunca C^\intercal

Matriz simétrica D Sempre Não necessariamente D^\intercal=D Negativa definida se e apenas se todos os valores característicos de D forem negativos 1

Matriz transposta E^\intercal Não necessariamente Não necessariamente E

Matriz positiva definida F Sempre Sim, e F^{-1} também é positiva definida F^\intercal Sempre é positiva definida

Matriz negativa definida G Sempre Sim, e G^{-1} também é negativa definida1 G^\intercal Sempre é negativa definida

Matriz identidade[editar | editar código-fonte]

Ver artigo principal: Matriz identidade

A matriz identidade I_n é a matriz quadrada n \times n em que todas as entradas da diagonal principal são iguais a 1 e as demais são iguais a zero, por exemplo

I_{2}