SÉRIE DE FOURIER NA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA
Por: livo • 31/3/2017 • Trabalho acadêmico • 855 Palavras (4 Páginas) • 473 Visualizações
UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO
LUCAS ISAAC THIAGO COUTO MATEUS GONÇALVES
SÉRIE DE FOURIER NA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA
MACAÉ - RJ 28 DE SETEMBRO DE 2016
Ondas
Onda é um movimento causado por uma perturbação que pode se propagar através de um meio ou no vácuo.
Elas podem ser classificadas em relação à natureza, quanto a ondas mecânicas (precisam de um meio material para propagação) e ondas eletromagnéticas (não precisam de um meio material para propagação). Quanto à forma, em ondas longitudinais (propagação na mesma direção do movimento) e transversais (propagação perpendicular à direção do movimento). Quanto a direção, as ondas podem ser unidimensionais (movimento em uma única direção), bidimensionais (se propaga em um plano) e tridimensionais (propagação em todas direções espaciais).
Equação da onda
Nesse trabalho iremos focar nas ondas mecânicas com vibrações livres para estudar uma possível solução analítica para a equação da onda, esta equação é escrita como uma Equação Diferencial Parcial (EDP) de segunda ordem.
A equação da onda é uma equação diferencial parcial linear de segunda ordem que descreve a propagação das ondas. Ela surge em áreas como a acústica, eletromagnetismo e áreas de engenharia, como construção civil, estudos sísmicos.
Vamos começar a análise das equações de ondas, partindo do princípio das pequenas vibrações de uma corda perfeitamente flexível. Para deduzir a equação diferencial, a qual deve satisfazer a função u (x, t), que representa a posição do ponto x da corda no instante t, utilizamos a lei de Newton: “a derivada com relação ao tempo da quantidade de movimento do corpo é igual à soma das forças aplicadas”. Vamos aplicar essa lei ao sistema mecânico constituído por um trecho da corda entre dois pontos arbitrários x=a e x=b.
Designado por p (x, t) a densidade da corda vemos, inicialmente, que a hipótese das partículas se deslocarem apenas em direção normal a x.
Analisando a figura de exemplo a quantidade de movimento da corda entre a e b é:
(1)
Tendo como base a densidade e a velocidade no ponto x.
Em relação as forças e partindo do princípio que analisaremos as vibrações sem forças externas, temos que pensar nas forças de tensão na direção da tangente das forças a e b.
Usando a lei de Newton, e lembrando que não há quantidade de movimento na direção x temos:
(2)
De onde se conclui que o componente horizontal da tensão é independente do ponto x e é função apenas do tempo t, usemos para ela a notação T(t). Assim, a resultante vertical das forças de tensão atuando sobre o trecho da corda entre os pontos da abcissa a e b é:
(3)
Utilizando a lei de newton do enunciado e se baseando em vibrações livres (sem forças externas) temos:
(4)
Ou seja:
α2u
xx
= u
tt
,
Sendo que
(5)
Para resolver esse problema temos que analisar as condições de fronteira e condições iniciais e mostrar o uso da série de Fourier juntamente com o método da separação de variáveis. Supondo-se que as extremidades permanecem fixas, logo as condições de fronteira são u (0, t) = 0, u (L, t) = 0, t≥ 0.Em relação as condições inicias representadas pelo deslocamento inicial da corda u(x,0), e o modo como a corda e abandonada nessa posição, que é traduzido pela velocidade inicial u t
(x, 0). Logo temos:
u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L (6)
u t (x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ L (7)
Vemos que o problema da corda vibrante finita, estudada para entendimento da equação das ondas consiste em determinas uma função u (x, t) para, 0≤ x≤L, t≥ 0 que satisfaça à equação das ondas, ás condições de fronteira e as condições iniciais. Vamos utilizar o método de Fourier, mas primeiramente temos que usar o método de separação de variais para determinar funções
que satisfaçam a equação das ondas e às equações de fronteira e as iniciais. Assim, substituindo na equação das ondas temos:
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