Cálculo do vetor II
Seminário: Cálculo do vetor II. Pesquise 862.000+ trabalhos acadêmicosPor: carlinhatai • 28/9/2014 • Seminário • 997 Palavras (4 Páginas) • 277 Visualizações
Cálculo Vetorial II
No texto a seguir,os vetores serão indicados através de letras em negrito e os seus módulos, através das mesmas letras sem o negrito.
Exemplo: u indicará o módulo do vetor u.
Considere dois vetores u e v pertencentes ao espaço R3.
Define-se o Produto Vetorial u x v como sendo um terceiro vetor w, com as seguintes características:
a) o módulo de w é w = |u x v| = u.v.senß, onde ß é o ângulo formado pelos vetores u e v.
b) a direção de w é perpendicular ao plano dos vetores u e v.
c) o sentido do vetor w = u x v é dado pela regra da mão esquerda:
Dispondo-se os dedos médio e indicador da mão esquerda, apontando no mesmo sentido dos vetores u e v, o dedo polegar apontará o sentido do vetor w.
Veja a figura a seguir:
Notas importantes:
1 – o produto vetorial é também denominado produto externo.
2 – do item (c) da definição dada, conclui-se que uxv = -(vxu), ou seja, o produto vetorial é uma operação não comutativa.
3 – se ß = 0º, ou seja, os vetores u e v são paralelos,
o módulo do vetor w = uxv será w = u.v.sen 0º = u.v.0 = 0 e, portanto, o vetor w = uxv será o vetor nulo.
Observe então que o produto vetorial de dois vetores pode ser nulo, sem que pelo menos um dos vetores seja nulo; basta que eles sejam paralelos.
4 – se ß = 90º, ou seja, os vetores u e v são perpendiculares, o módulo do vetor w = uxv será w = u.v.sen90º = u.v.1 = u.v
5 – Lembrando dos vetores unitários(ou seja, de módulo igual a 1) do espaço R3, i,j e k, os quais são perpendiculares entre si dois a dois, e, baseados nas notas (3) e (4) acima, podemos escrever as seguintes igualdades relativas aos produtos vetoriais dos vetores unitários i, j e k:
i x i = 0 i x j = k
j x j = 0 j x k = i
k x k = 0 k x i = j
Para melhor entender a tabela acima, basta lembrar que vetores paralelos possuem produto vetorial nulo (todo vetor é paralelo a si próprio e portanto, i // i, j // j e k // k)e também lembrar que os vetores i, j, k são perpendiculares entre si dois a dois.
6 – Vimos em Trigonometria que a área de um triângulo pode ser calculada pelo semi-produto das medidas de dois dos seus lados,pelo seno do ângulo que eles formam, ou seja:
A = 1/2 .a.b.sen ß, onde a e b são as medidas de dois lados e
ß é o ângulo formado entre eles, e A é área.
Nestas condições, considere o paralelogramo da figura abaixo:
Então, o triângulo limitado pelos vetores u e v que formam entre si o
ângulo ß, terá uma área dada por A = 1/2.u.v.sen ß
A área S do paralelogramo, será evidentemente igual ao dobro da área deste triângulo, ou seja: S = 2.A = u.v.sen ß
Ora, u.v.sen ß é, exatamente, o módulo do produto vetorial uxv, conforme já vimos acima.
Logo, a conclusão final é que:
A área do paralelogramo construído a partir dos vetores u e v ,
é igual ao módulo do produto vetorial u x v.
Assim, S = |u x v|
Antes de resolver e propor exercícios, temos que aprender a determinar o produto vetorial de dois vetores.
Sejam os vetores
u = (a,b,c) = a.i + b.j + c.k
v = (d,e,f) = d.i + e.j + f.k
Suponha que u x v = (x,y,z) = x.i + y.j + z.k
Teremos:
x.i + y.j + z.k = (a.i + b.j + c.k) x (d.i + e.j + f.k)
Efetuando as operações indicadas no segundo membro da igualdade acima, vem:
x.i + y.j + z.k = a.d.(ixi) + a.e.(ixj) + a.f.(ixk) + b.d.(jxi) + b.e.(jxj) + b.f.(jxk)+ c.d.(kxi) + c.e.(kxj) + c.f.(kxk)
Observando pela tabela anterior que i x i = k x k = j x j = 0,
e substituindo acima, vem:
x. i + y.j + z.k =
a.e.(ixj) + a.f.(ixk) + b.d.(jxi) + b.f.(jxk)+ c.d.(kxi)+ c.e.(kxj).
Observando ainda que: i x j = k, k x i = j, j x k = i,
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