Matemática 2 - Lista de exercícios

Matemática 2 – Lista de exercícios 2

1. Uma fábrica produz dois tipos de produtos, A e B. O produto A é vendido por R$ 40 a unidade e o produto B é vendido por R$ 28 a unidade. A fábrica vende x unidades do produto A e y unidades do produto B.

a) Determine a receita R(x,y) da referida fábrica.

b) Calcule R(1.000,2.001) – R(1.000,2.000), ou seja, determine a variação de R(x,y) quando y aumenta de 2.000 para 2.001 unidades e x permanece constante em 1.000 unidades.

c) Determine as derivadas parciais de R(x,y).

d) Determine a variação de R(x,y) quando y aumenta de 2.000 para 2.001 unidades e x permanece constante em 1.000 unidades, utilizando a análise marginal.

2. Calcule as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,y) = x2y3 – 3xy2 .

3. Em uma distribuidora, verifica-se que as 3 (três) lojas de clientes mais importantes estão localizadas nos pontos A(1,5), B(0,0) e C(8,0), dispostas em um plano cartesiano no qual as distâncias estão medidas em quilômetros. Em que ponto P(x,y) deve ser instalado um depósito para que a soma das distâncias de P a A, a B e a C seja mínima. (Observe que, se a soma das distâncias é mínima, a soma dos quadrados das distâncias também será mínima, sendo que o quadrado da distância, por exemplo, de P para A é dado por d2 = (xP – xA)2 + (yP – yA)2.)

4. Planeja-se construir um espaço para piquenique voltado para motoristas à beira de uma rodovia, em um terreno retangular, com área de 5.000 m2, que deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessária para a obra?

5. Determine os valores máximo e mínimo da função f(x,y) = xy com a restrição de que x2 + y2 = 18.

6. Um empreendedor dispõe de R$ 8.000 para investir no desenvolvimento e propaganda de um novo produto. Estima-se que se x milhares de reais forem gastos em desenvolvimento e y milhares de reais forem gastos em propaganda, as vendas atingirão f(x,y) = 50x1/2y3/2 unidades. Quanto se deve gastar em desenvolvimento e em propaganda para maximizar o volume de vendas?

7. Resolva:

a) 2x + 5y = 3

6x + 15y = 9

b) x – 0,4y – 0,3z = 130

- 0,2x + 0,88y – 0,14z = 74

- 0,5x – 0,2y + 0,95z = 95

c) x + y + z = - 2

2x + 4y + 5z = 8

3x + 5y + 6z = 10

8. Sendo A = , B = , C = , D = e D-1 = , mostre que:

a) (1/2).A = I2 , onde I2 é a matriz identidade de ordem 2.

b) B. I2 = B, qualquer que seja B.

c) A é simétrica, ou seja, A = At.

d) C é idempotente, ou seja,