Resumo Da Biblia

DEFINIÇÃO 1:

Uma classe A de subconjuntos de um conjunto Ω é uma sigma álgebra se satisfizer as seguintes condições:

da1) Ω e o conjunto vazio , Φ pertencem a A.

da2) Se um conjunto B pertence a A, seu complemento também pertence a A;

da3) dada uma seqüência (família enumerável) de conjuntos B1 , B2...... pertencentes a A , sua união

U= B1 ∪ B2 ∪B3∪...∪BN.... ∪.... pertence a A

e também sua interseção I= B1 ∩ B2 ∩B3∩...∩BN.... ∩.... pertence a A

Obs: a classe A é apenas uma álgebra de subconjuntos de Ω se no lugar de 3) for satisfeita a propriedade abaixo da3*, mais restrita que da3:

da3*) dada uma seqüência FINITA de conjuntos B1 , B2......BN pertencentes a A , sua união

U= B1 ∪ B2 ∪B3∪...∪BN pertence a A

e também sua interseção I= B1 ∩ B2 ∩B3∩...∩BN pertence a A

EXEMPLOS:

I-Seja Ω ={ a,b,c,d ,e}. Um exemplo de álgebra de subconjuntos de Ω é dado abaixo:

A partir dos subconjuntos {a,b}, {c,d}, {e}, para formar uma álgebra é preciso juntar ainda os seguintes conjuntos:

i- Ω e Φ (exigência da1)

ii-{c,d,e}, {a,b,e},{a,b,c,d}-porque são complementos dos conjuntos iniciais ( exigência a2)), formando assim a classe provisória (sem repetir o mesmo conjunto)

{ Ω , Φ, {a,b}, {c,d}, {e}, {c,d,e}, {a,b,e},{a,b,c,d}}

iii) juntar conjuntos obtidos pela união de conjuntos que estiverem na classe( exigência da3*) sem escrever duas vezes o mesmo conjunto:

Não há neste exemplo, nenhum conjunto novo obtido por uniões de conjuntos em .

Logo a álgebra gerada é { Ω , Φ, {a,b}, {c,d}, {e}, {c,d,e}, {a,b,e},{a,b,c,d}} contendo 8 elementos.

II-Seja Ω ={ a,b,c,d ,e}. Um exemplo de álgebra de subconjuntos de Ω é dado abaixo:

A partir dos subconjuntos {a,b}, {a,c,d}, {e} que formam a classe {{a,b}, {a,c,d}, {e}}, para formar uma álgebra é preciso juntar ainda os seguintes conjuntos:

i- Ω e Φ (exigência da1)

ii-{c,d,e}, {b,e},{a,b,c,d}-porque são complementos dos conjuntos iniciais ( exigência da2)), formando assim a classe provisória (sem repetir o mesmo conjunto)

{ Ω , Φ, {a,b}, {a,c,d}, {e}, {c,d,e}, {b,e},{a,b,c,d}}

iii) juntar em conjuntos obtidos pela união de conjuntos que estiverem nessa classe( exigência da3*) sem escrever duas vezes o mesmo conjunto:

O conjunto {a,b,e} pode ser adicionado a , pois vem da união de {a,b} com {e} ou com {b,e};

O conjunto {b,c,d,e} pode ser adicionado a , pois vem da união de