Função Derivada

EXERCÍCIOS- LISTA 02

1) Seja P = - x³ + 300x a função de produção que dá a quantidade produzida de certo bem agrícola em função da quantidade de fertilizante.

a) Determine a função Produto Marginal;

Qualquer função marginal é a derivada de sua função original. Assim, PMg = -3x² + 300

b) Atribua valores à função de produção e à função de produção marginal e interprete os resultados;

O gráfico abaixo mostra que quando o produto marginal é igual a zero, ou seja, no ponto em que x=10, o produto total é máximo.

c) Determine qual deverá ser o produto máximo.

O produto máximo ocorre quando o produto marginal for igual a zero, ou seja, quando a quantidade de insumo “X” for igual a dez. Dessa forma, o produto máximo será igual a 2000. (basta substituir 10 no lugar de “X”, na função produção).

 

2) Seja L = - q2 + 104q - 400 a função lucro total.

a) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função lucro;

Por Báskara descobrimos as raízes do gráfico que são 4 e 100. Entre esses valores sempre haverá lucro, porém, até o vértice, onde q = 52, temos crescimento (4<q<52) e de 52 a 100, decrescimento ( 52<q<100). Veja o gráfico abaixo:

b) Determine o lucro máximo e a quantidade correspondente.

Já sabemos, pelo cálculo do lucro marginal, que 52 é a quantidade que maximiza o lucro. Portanto, basta substituí-lo na função lucro, encontrando o valor máximo de 2304.

c) Faça o gráfico da função-lucro.O gráfico é o mesmo do item a)

 

3) Um empresário produz e vende certo produto, cujo custo médio de fabricação é dado por Cme = q+2. A demanda para esse produto obedece à relação P = 5 – 8q.

a) Determine as funções custo, receita e lucro;

C = Cme x q. Logo, C= q . (q+2). Portanto, C = q² + 2q

R = P.Q. Assim, R = (5 – 8q) . q. Logo, R = -8q² + 5q

b) Determine o lucro máximo;

A função lucro será R – C. L = -8q² + 5q – (q² + 2q). L = -9q² + 3q.

Derivando a função lucro e igualando a zero encontramos a quantidade que gera o lucro máximo. Temos, portanto: -18q + 3 = 0 q = 3/18 q = 0,17. Substituindo 0,17 na função lucro, temos: L = -9(0,17)² + 3(0,17) = 0,2499.

ATENÇÃO SENHORES ALUNOS. NÃO SE IMPORTEM COM ESSES VALORES TÃO BAIXOS, POIS A ESCALA PODE SER LOGARITMICA.

c) Faça o gráfico do lucro.

Do item b), encontramos a função lucro como L = -9q² + 3q. Para fazer o gráfico, descobrimos as raízes e os vértices e, depois, ligamos os pontos.

 

4) Um produtor