A Antiguidade Grega E Os Problemas De Quadratura

Sobre problemas de quadratura na antiguidade grega

Crístiam Wallao Rosa

([e-mail])

Acadêmico do Curso de Licenciatura em Matemática

Universidade Federal de Santa Maria

Os três famosos problemas da antiguidade grega

Os três famosos problemas da antiguidade grega são a duplicação do cubo, a trissecção do ângulo e a quadratura do círculo são intrigantes pela razão de não ter resolução possível utilizando apenas régua não graduada e compasso, esses que são chamados de instrumentos euclidianos.

Descrevendo os três grandes problemas:

1. Duplicação do cubo ou problema de construir o lado de um cubo, cujo volume é o dobro de outro dado;

2. Trissecção do ângulo ou problema de dividir um ângulo dado qualquer em três partes iguais;

3. Quadratura do círculo ou problema de construir um quadrado com área igual à de um círculo dado qualquer.

Através dos tempos muitos matemáticos tentaram solucionar estes problemas e isso foi estimulante para o desenvolvimento de grande parte Geometria Euclidiana que conhecemos nos dias de hoje, pois muitas ideias foram surgindo, proporcionando novas descobertas como curvas cúbicas e quárticas, secções cônicas e curvas transcendentes.

Introdução:

- Construindo retas paralelas:

Iniciaremos nossos estudos aprendendo a construir uma reta paralela à outra dada, a construção é muito simples como veremos a seguir.

1) Tomemos inicialmente uma reta r;

2) Nesta reta r, tomemos um segmento AB ∈ r e construímos a circunferência

C(A,AB);

3) AC≡AB;

4) Transportemos o segmento BA, com a ponta seca do compasso em B até que o compasso toque a circunferência em um ponto que chamaremos de D, tal que BD≡BA.

5) Da mesma forma transportemos o segmento CA, com a ponta seca do compasso em C até que o compasso toque a circunferência em um ponto que chamaremos de E, tal que CE≡CA.

6) A reta s que passa pelos pontos D e E é tal que s // r.

Dada uma reta r e um ponto C tal que C ∉ r, construir uma reta s // r passando por C.

1) Tomemos um ponto D tal que D ∈ r e tracemos a circunferência C(D,DC);

2) Transportemos com a ponta seca do compasso o segmento DC tal que DC≡EC e DG≡FG;

3) A reta s que passa por C e G é tal que s // r;

- Construindo retas perpendiculares:

Dada uma reta qualquer, seja t, e um ponto Q construir uma reta s tal que s // t.

1) Com a ponta seca do compasso em Q tracemos uma circunferência de tal forma que toque a reta t duas vezes construindo os pontos A e R;

2) Com a ponta seca do compasso em A tomemos uma abertura do compasso maior que AR, seja AT e construímos a circunferência C(A,AT) e com a ponta seca do compasso em R e com abertura do compasso RS≡AT construímos a circunferência C(R,RS);

3) C(A,AT) ⋂ C(C,RS) = U e C(C,RS) ⋂ C(A,AT) = V;

4) A reta s que passa pelos pontos U e V é tal que s ⊥ t;

Quadratura de um polígono qualquer

Tomemos como exemplo para nossa construção o pentágono ABCDE.

A seguir com algumas construções e alguns resultados da Geometria Euclidiana Plana iremos construir um quadrado de área igual a do pentágono acima.

1º passo: Tracemos a diagonal BD;

2º passo: Traçamos uma reta r passando pelo ponto C tal que r // BD;

3º passo: Prolongamos o seguimento AB até r;

4º passo: Traçamos uma reta s tal que AB ⊂ s;

5º passo: r ⋂ s = F;

6º passo: Construímos o polígono AFDE com quatro lados e área igual ao polígono ABCDE;

Construções dos passos 1 até 6 área (AFDE) =área (ABCDE)

OBS: Note que área (DBC) =área (DBF), pois tem mesma base e mesma altura e como o triângulo (DBY) é comum aos triângulos DBC e DBF, logo área (CDY) = área (BFY) daí área (ABCDE) = área (AFDE).

7º Passo: Traçamos a diagonal EF;

8º Passo: Traçamos uma reta t por D tal que t // EF;

9º Passo: Prolongamos AF traçando a reta u;

10º Passo: u ⋂ t = G;

11º Passo: Traçamos o seguimento EG;

12º Passo: Construímos o triângulo AGE, tal que área