A Derivada tem dois aspectos básicos, o geométrico e o computacional

[pic 1]

UNIVERSIDADE PAULISTA

Interativa

Trabalho em Grupo-TG

POLO

2015

---

Trabalho em Grupo (TG)

Professor: Paulo Coelho.

          A derivada tem dois aspectos básicos, o geométrico e o computacional. Além disso, as aplicações das derivadas são muitas; a derivada tem muitos papéis importantes na matemática propriamente dita, têm aplicações em física, química, engenharia, tecnologia, ciências, economia e muito mais, e novas aplicações aparecem todos os dias. Problemas de movimento e velocidade também básicos para nosso entendimento de derivadas surgiram com os gregos antigos, embora estas questões tenham sido originalmente tratadas mais filosoficamente que matematicamente. Os quatro paradoxos de Zenon (cerca de 450 a.C.) se apoiam sobre dificuldades para entender velocidade instantânea sem ter uma noção de derivada .Na Física de Aristóteles (384-322),os problemas de movimento estão associados intimamente com noções de continuidade e do infinito ( isto é quantidades infinitamente pequenas e infinitamente grandes).Em particular , a noção de velocidade instantânea tornou-se mensurável ,pelo menos em teoria; hoje , é a derivada ( ou taxa de variação ) da distância em relação ao tempo.

            O conceito de função que hoje pode parecer simples é o resultado de uma lenta e longa evolução histórica iniciada na Antiguidade quando, por exemplo, os matemáticos Babilónios utilizaram tabelas de quadrados e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma tensão com seu comprimento. Nesta época o conceito de função estava claramente definido: as relações entre variáveis surgiram de forma implícita e eram descritas verbalmente ou por um gráfico. O Calculo é uma das realizações da humanidade, cujas ideias básicas foram desenvolvidas há cerca de 300 anos por Newton e Leibniz e, desde então vem sendo utilizado nas mais diversas áreas das Ciências. É utilizado e ensinado em função de sua capacidade de reduzir problemas complexos das diversas áreas das Ciências a regras e procedimentos simples, em função deste aspecto redutor é possível abordá-lo como um conjunto de regras e procedimentos, aplicáveis mecanicamente em situações puramente algébricas.

         Estão incluídas, também, as aplicações da derivada a problemas típicos envolvendo máximos e mínimos, taxas de variação e cálculo de limites, que tem aplicações práticas nos mais diversos campos, como geometria, engenharia, física, biologia e economia. Na verdade podemos resumir afirmando que a derivada constituiu uma poderosa ferramenta para o estudo e análise de funções. A derivada representa a taxa de variação de uma função . Exemplo: A função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função do espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade. Galileu estudou o movimento geometricamente; usou as proporções clássicas de Euclides e propriedades das cônicas de Apolônio para estabelecer relações entre distância, velocidade e aceleração.

    Máximos e Mínimos

1- Deseja- se construir uma piscina com formato quadrangular com capacidade de 32m3 de água .Determinar as dimensões da piscina para que seja mínimo o consumo de material utilizado no seu revestimento interno.

Solução: As dimensões são a, a e y e seu volume é de 32m3 tem-se:

V =. y = 32[pic 2]

Y = [pic 3]

A área total de revestimento da piscina de base quadrangular é A=4.a.y+a2, pois se sabe que o total de um prisma de base quadrangular fechado é A=4.a.y+2. a2,porém a piscina não é fechada confirmando a primeira expressão. Substituindo o valor de y.

[pic 4]

A= [pic 5]

A= [pic 6]

A’= [pic 7]

A’= = 0[pic 8]

2.-128 =0[pic 9]

[pic 10]

Logo, as dimensões para que se tenha mínimo gasto de material são respectivamente, 4m, 4m e 2m.

Aplicações de derivadas nas Ciências Biológicas

As aplicações das derivadas aparecem com taxas relacionadas onde a sua interpretação mostra sua maior importância.

2- Drª Claudia Eller diz ao seu paciente que tem um tumor no corpo e suponha que seja de forma esférica. Ela pergunta para ele: Se quando o raio do seu tumor for 0,5 cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001 cm por dia, qual será a taxa de aumento do volume do tumor naquele instante?

Solução: no tempo t o tumor tem raio r=0,5,cm  = 0,001 cm e volume v = .r3 ,então:[pic 11][pic 12][pic 13]

 = 4..r2 [pic 14][pic 15][pic 16]

 = 4.2.0,001[pic 17][pic 18]

 = 4..0,001[pic 19][pic 20]

 = 0,001. 3 /dia[pic 21][pic 22]

Aplicação de derivadas para calcular Velocidade.

3- Durante a tosse há um decréscimo no raio da traqueia de uma pessoa. Suponha que o raio da traqueia seja R cm e que durante a tosse o raio seja r cm, onde R é uma constante e r uma variável. Pode-se mostrar que a velocidade do ar através da traqueia é uma função de r e se V ® cm/s for essa velocidade, então V (r) = kr2 (R-r) onde k é uma constante positiva e r esta em . Determine o raio da traqueia durante a tosse, para a velocidade do ar através da traqueia seja máximo.[pic 23]