RESUMO TEÓRICO SOBRE OS PRICIPAIS ASPECTOS SOBRE O CONCEITO DE DERIVADAS

Sabemos que as grandezas variam. Em nosso dia a dia, pensamos muitas vezes na variação de grandezas, como, por exemplo, o tempo gasto para chegar à Universidade, o quanto engordamos ou emagrecemos no último mês, a variação da temperatura num dia específico, e assim por diante.

De modo geral, quando uma grandeza y está expressa em função de uma outra x, ou seja, y=f(x), observamos que, para uma dada variação de x, ocorre, em correspondência, uma variação de y, desde que y não seja uma função constante.

Se y=f(x)=x2, e, a partir de x0, supomos uma variação Dx - ou seja, x varia de x0 até x0+Dx - podemos calcular a correspondente variação de y, que denominamos Dy.

Assim no caso de y=x2, temos:

x=x0 Þ y0=f(x0)=x02

x=x0+Dx Þ y=y0+Dy=f(x0+Dx)=(x0+Dx)2

Logo: Dy=(x0+Dx)2 - x02=2x0.Dx+(Dx)2

Observemos que Dy depende do particular valor x0 e da variação Dxda variável independente, pois Dy=2x0.Dx+(Dx)2.

Em particular, para Dx=0,25 e para diferentes valores de x0, temos diferentes valores para Dy.

x0 x0+Dx Dy

1 1,25 0,5625

2 2,25 1,0625

Assim, quando x varia em intervalos diferentes, de igual comprimento, a mesma função y sofre diferentes variações.

Resultados desse tipo não nos dizem muita coisa, pois saber a variação da grandeza y em determinado intervalo, não é de grande utilidade, se não estivermos relacionando essa variação ao tamanho do intervalo.

As variações Dy e Dx das duas grandezas y e x estão inter-relacionadas e, para deixar esse fato explícito, podemos examinar a razão , que, no caso, de y=x2, nos fornece:

,

uma vez que Dy=2x0.Dx+(Dx)2.

O quociente é denominado razão média das variações ou taxa de variação média e normalmente depende do particular ponto x0 e da variação Dx considerada.

Dada uma função y=f(x), definida num intervalo, e de tal modo que y é uma função crescente da variável independente, podemos considerar algumas situações:

Figura I

Figura II

Figura III

Figura IV

Na Figura I: y cresce de maneira constante - a taxa de variação média é a mesma em cada subintervalo e é positiva.

Na Figura II: y cresce cada vez mais rapidamente - a taxa de variação média vai aumentando em cada subintervalo, sendo sempre positiva.

Na Figura III: y cresce cada vez mais lentamente - a taxa de variação média vai diminuindo em cada subintervalo, sendo sempre positiva.

Na Figura IV: y cresce de diferentes maneiras - a taxa de variação média é positiva - ou nula - em cada subintervalo, e não possui a uniformidade das outras situações.

Uma interpretação física

Considerando que estes gráficos representem a posição s de um móvel (no eixo vertical) em função do tempo t (no eixo horizontal), poderíamos lê-los da seguinte maneira:

Figura I - A posição s cresce de maneira constante em função do tempo, ou seja, a taxa de variação média é a mesma para qualquer subintervalo e é positiva.

Uma analogia possível: um trem mantém a sua velocidade constante durante o intervalo de tempo considerado no gráfico e sua velocidade é positiva, isto é, o trem desloca-se