A Desigualdade Geométrica: Brunn-Minkowski

Desigualdade Geometrica: Brunn-Minkowski

Autor discente MANOEL NUNES RODRIGUES, Autor docente NEWTON LUÍS SANTOS, Departamento de

Matemática, UFPI)

Palavras-chave: Desigualdades; Isoperimétrica; Brunn-Minkowski; Volume.

1. Introdução

Ao longo desse trabalho realizamos um estudo introdutório sobre teoria da medida e nos

aprofundamos na desigualdade de Brunn-Minkowski a estudar sua relação com outras desigualdades em

geometria, análise e algumas aplicações.

Nossa pesquisa iniciou com o estudo de medida que foi de fundamental importância. Obtivemos

uma base nos conceitos de medida no sentido Lebesgue e Hausdorff [5], volume n-dimensional e funções

convexas. O estudo de integrais no sentido Lebesgue, possibilitou o estudo sobre a desigualdade de Brunn-

Minkowski e a exploração de outras desigualdades como a Prékopa-Leindler tendo como referência [1].

Em contextos mais gerais, onde noções de área e perímetro, ou volumes são mais delicados.

Muitas vezes a pergunta passa a ser qual a noção correta de área de determinado espaço. Vimos também

o problema isoperimétrico que no plano:

L

2 ≥ 4πA

onde A é a area envonvidada pela curva de comprimento L. Existem várias versões de que se mantém não

somente em espaços Euclidianos n-dimensionais R

n

, mas também em espaços mais gerais. Essas

desigualdades isoperimetricas estão relacionadas a várias importantes desigualdades analíticas, que

veremos ao longo desse trabalho.

A desigualdade de Brunn-Minkowski é uma delas. Sejam K e L corpos convexos (conjuntos

compactos convexos com interior não vazios) em R

n e 0 < λ < 1, então

V((1 − λ)K +λL)

1/n

≥ (1 − λ)V(K)

1/n + λV(L)

1/n

onde V denota o volume e + o vetor soma (que serão definidos mais a frente). A igualdade se mantem

quando K e L são homotéticos, ou seja, iguais a menos de rotações e translações. Osserman enfatiza que

mesmo essa forma mais geral é fácil provar e que rapidamente implica na desigualdade isoperimétrica

clássica para uma importante classe de conjuntos.

2. Metodologia

Iniciamos nosso estudo com uma introdução às desigualdades isoperimétricas com ferramentais de

teoria da medida, aprofundamos o estudo com análise geométrica da medida, através de apresentações

periódicas realizadas semanalmente, nas quais utilizamos livros, artigos, resumos, pincéis, apagador e

quadro branco. As ferramentas de introdução tiveram como base o livro do 19o Colóquio brasileiro de

Matemática de MERCURI, Francesco e PEDROSA, Renato [1].

Para o estudo da relação entre a desigualdade de Brunn-Minkowski e outras desigualdades em

geometria e analise utilizamos o artigo de GARDNER,R. J. [2].

Em paralelo foi realizado o estudo do editor de texto Latex para fim de elaboração do relatório

técnico com os resultados obtidos no projeto.

3. Resultados e discussão

Estudamos a noção de medida e um dos resultados mais interessantes que achei foi

Teorema de Banach-Tarski: Sejam U e V abertos quaisquer de R

n

,n ≥ 3. Existem E1

, ⋯ , Ek, F1

, ... , Fk

subconjunto de R

n e k ∊ N tais que:

(1) Ei ∩ Ej = se i ≠ j, e U =∪j=1

k Ej

.

(2) Fi ∩ Fj = se i ≠ j e V =∪j=1

k Fj

(3) Ej é congruente a Fj para j = 1, ... , k.

Esse resultado nos diz, por exemplo, que pode-se cortar uma bola do tamanho de uma laranja (ou

de uma cabeça de alfinete) em um número finito de pedaços e reorganiza-los de modo a formar uma bola

do tamanho da terra! Os conjuntos Ej e Fj são bem bizarros e sua construção depende do axioma da

SEMINÁRIO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA DA UFPI. (Edital 2017/2018), XXVII, 2018. Anais... Teresina: UFPI, 2018. ISSN 1518-7772.

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escolha [6]. Mas a existência dele independe da construção de qualquer μ: ℘(\R

n) → [0, ∞] que associe

valores finitos positivos a conjuntos abertos limitados e satisfaça

(i) Dada uma sequência A1, A2, ⋯, finita ou infinita de subconjuntos de R

n

, disjuntos:

μ(∪n=1

∞ An

) = μ(A

1

)+ μ(A2

) + μ(A3