A definição de regras de derivados e derivação

Etapa 1 – Conceito de derivada e regras de derivação

Passo 1 – Velocidade Instantânea

Considerando que um ponto móvel M desloca-se ao longo de uma linha reta horizontal, a partir de um ponto O.

O deslocamento s do ponto móvel M em relação ao ponto de origem O, é a distância de O a M. Caso M esteja à direita de O esse deslocamento é positivo, e é o negativo de estiver esquerda de O. Logo, s é positivo ou negativo conforme M esteja localizado.

Como o deslocamento s depende do instante de tempo t, conclui – se que s é uma função da variável t: s = f(t). Em um determinado instante t0, o deslocamento de M é s0 = s(t0). Em um instante posterior t1, o deslocamento de M é s1 = s(t1).

Assim, a velocidade média do ponto M, no intervalo de tempo [t1, t0] é dada por:

v_m= (s_1-s_0)/(t_1-t_0 )= (s_(〖(t〗_1))-s_((t_0)))/(t_1-t_0 )

Podemos também escrever:

t1 = t0 + ∆t → ∆t = t1 - t0

∆s = s(t1) - s(t0) = s(t0 +∆t) - s(t0)

Logo:

v_m= (s_((t_o+∆t))-s_((t_(0)) ))/∆t= ∆s/∆t

Supondo que s(t) = 1/2 at² (ponto uniformemente acelerado). Considerando o instante t = 0, o ponto móvel está em s(0) = 1/2 a.0² = 0. A partir de um certo instante t0, temos uma variação de tempo ∆t.

Seja t1 = t0 + ∆t, onde ∆t > 0 ou ∆t < 0 (quando ∆t < 0, t1 antecede t0), teremos então:

s(t_1 )=s(t_0+∆t)=1/2 a(t_0+∆t)^2=1/2(a〖t_o〗^2+2at_0 ∆t+a∆t^2)

A variação do deslocamento do ponto móvel, nesse intervalo de tempo, será igual a:

∆s=1/2 a〖t_0〗^2+at_0 ∆t+1/2 a∆t²- 1/2 a〖t_0〗^2=at_0 ∆t+1/2 a∆t²

A velocidade média do ponto, no intervalo de tempo [t0; t1], será dada por:

∆s/∆t=(at_0+a∆t²⁄2)/∆t=at_0+a∆t/2

Se ∆t ≈ 0, então teremos também ∆s ≈ 0, no entanto:

∆s/∆t=at_0+a∆t/2≈at_o

De um modo geral, foi definida a velocidade instantânea v(t0) do ponto M no instante t0, como sendo o limite da velocidade média no intervalo de t0 a t0 + ∆t, quando ∆t tende a zero.

v(t_0 )= lim┬(∆t→0)⁡(∆s/∆t)

No exemplo dado, temos que: v(t_0 )= lim┬(∆t→0)⁡〖(at_0+a∆t/2)=at_o 〗

Agora, considerando um automóvel com aceleração igual a 24 m/s², as expressões serão:

s(t)=1/2 at²=12t²

v(t_0 )= 24t_o

Passo 2

Na tabela abaixo encontram – se os valores para posição e velocidade do ponto móvel:

t (s) s(m) v(m/s)

0,0 0 0

0,5 3 12

1,0 12 24

1,5 27 36

2,0 48 48

2,5 75 60

3,0 108 72

3,5 147 84

4,0 192 96

4,5 243 108

5,0 300 120

Como a função posição se trata de uma função quadrática, a sua curva característica é uma parábola.

Já a função velocidade, como é a derivada da função posição, como se observa, perde um grau em relação a sua função originária. Logo, a sua curva característica é a reta.

Como v_m= (s_((t_o+∆t))-s_((t_(0)) ))/∆t= ∆s/∆t , a área formada pela função velocidade nos dá o caminho percorrido no intervalo de 0 a 5 segundos:

s(m)= (b×h)/2=(5×120)/2=300

Passo 3 – Aceleração Instantânea

Considere um intervalo de tempo [t0, t1], com t1 > t0. Se v(t0) é a velocidade da partícula no instante t0 e v(t1) é a velocidade da partícula no instante t1, a variação da velocidade no intervalo de t0 a t1 é:

∆v=v(t_1 )-v(t_0 )

Onde: ∆t=t_1-t_2

A razão entre a variação da velocidade no intervalo de t0 a t1 e a duração deste intervalo é chamada de aceleração média da partícula.

a_(m_(t_0→t_1 ) )= (v(t_1 )-v(t_(0)))/(t_1- t_0 )≡Δv/Δt

Sendo a duração do intervalo t1 → t0 uma grandeza positiva, concluímos que a aceleração média é quando a velocidade aumenta nesse intervalo de tempo. Já a aceleração média é negativa somente se a velocidade diminui no intervalo. E finalmente, o caso da aceleração média nula corresponde à situação em que a velocidade da partícula em t0 é igual à sua velocidade em t1.

Porém neste último caso, isso não significa que necessariamente durante esse intervalo a velocidade da partícula tenha permanecido constante. Isso pode ou não ter acontecido, mas conhecendo-se apenas a velocidade média nesse intervalo, nada podemos afirmar.

Logo conclui – se que a aceleração média apenas dá uma ideia de como varia a velocidade em um intervalo de tempo, porém não diz sobre como se dá esse deslocamento.

Para se obter informações mais detalhadas sobre a variação da velocidade, devemos considerar o conceito de velocidade instantânea, que nos fornece a rapidez com que a velocidade varia num instante em particular.

A aceleração instantânea da partícula no instante t é o limite da razão entre ∆v e ∆t, quando a duração do intervalo tende a zero:

a(t)= lim┬(t→0)⁡((v(t+∆t)-v(t))/∆t)

Esse limite define a derivada da velocidade com relação ao tempo,ou seja, a aceleração instantânea num dado instante é a derivada com relação ao tempo da função que descreve a velocidade da partícula neste dado instante.

Logo, a aceleração instantânea num dado instante t0 é dada por:

a(t_0 )=├ dv/dt┤|_(t=t_o )

A partir disso, conclui – se que função velocidade é a derivada com relação ao tempo da função posição, assim ao derivar com relação ao tempo duas vezes a função posição obtêm – se a função aceleração. Abaixo encontra – se a expressão matemática que demonstra como calcular a função aceleração a partir da função posição:

a(t)=(dv(t))/dt=d/dt ((ds(t))/dt)=(d²s(t))/dt²

Observação: o índice 2 não significa que a função está sendo elevada ao quadrado, mas sim esta função é a segunda derivada.

Com base nesta afirmação: v(t_0 )= 24t_o

Logo: a(t)=24

Passo 4

Como a função aceleração é a derivada da função velocidade, perde um grau em relação a sua função originária, tornando – se um valor constante, por isso a sua curva característica é a reta.

Como a_(m_(t_0→t_1 ) )= (v(t_1 )-v(t_(0)))/(t_1- t_0 )≡Δv/Δt , a área formada pela função aceleração dá velocidade média do ponto móvel no intervalo de 0 a 5 segundos:

v(m/s)= b×h=5×24=120

Bibliografia:

Velocidade Instantânea disponível em:

http://www.dm.ufscar.br/~sampaio/calculo1_aula01.pdf. Acessado em 25 abril de 2012.

Aceleração Instantânea disponível em:

http://www.lizardonunes.pro.br/PDFs/Cinematica_Aula3.pdf. Acessado em 25 abril de 2012.

Etapa 2 – Conceito de derivada e regras de derivação

Passo 1 – Constante de Euler

O número de Euler ou o “e” é um número irracional e transcendente, assim como o número π e é a base dos logaritmos naturais.

A primeira referência da constante foi publicada em1618 na tabelo de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier, porém a constante não aparecia. Na realidade a constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando este tentava encontrar um valor para a seguinte expressão:

ke^r= lim┬(n→∞)⁡(k(1+r/n)^n )

Considerando r = k = 1, têm – se que:

e= lim┬(n→∞)⁡〖(1+1/n)^n 〗

Substituindo n por 1/h chega – se a:

e= lim┬(h→0)⁡〖(1+h)^(1/h) 〗

Considerando n = {1,5,10,50,100,500,1000,10000,100000,10000} chega – se aos seguintes valores para a constante de Euler:

n h e

1 1 2,000000

5 0,2 2,488320

10 0,1 2,593742

50 0,02 2,691588

100 0,01 2,704814

500 0,002 2,715569

1000 0,001 2,716924

10000 0,0001 2,718146

100000 0,00001 2,718268

1000000 0,000001 2,718280

Com base no gráfico acima nota – se que quanto maior for o valor para “n”, mais próximo o valor de “e” chega ao valor de 2,718281828459045235360287471352662497757 (com aproximadamente 40 dígitos decimais), o que comprova o limite de n que tende ao infinito está correto.

Passo 2 – Séries Harmônicas

a) Séries Harmônicas na música, matemática e física:

O número harmônico suscita duas vertentes que se convergem: a matemática e a música. É interessante considerar que a música é pura matemática, em sua exatidão e imperfeição.

A harmonia musical tem suas bases nos intervalos matemáticos, consistindo num conjunto de notas tocadas simultaneamente. Ao pensar em um acorde, três notas determinadas soando ao mesmo tempo, cada nota tendo entre si intervalos de sons específicos formando uma tríade.

Por exemplo, o acorde de Dó Maior abarca as notas Dó (primeira – tônica), Mi (terça – mediante) e Sol (quinta – dominante), entre essas notas existem intervalos de tom (T) e semitom (ST):

Onde:

T – Tônica; II – Supertônica, III – Mediante; IV – Subdominante; V – Dominante; VI – Superdominante; VII – Sensível

Intervalo Dó – Mi: somam – se dois tons, constituindo uma terça maior;

Intervalo Mi – Sol: soma – se um tom e meio, constituindo uma terça menor;

Intervalo Dó – Sol: somam – se três tons e meio, constituindo uma quinta justa;

Acorde do Dó Maior: terça maior seguida da terça menor.

O substrato da harmonia musical (escalas, acordes, tonalidades) originou-se com a descoberta da série harmônica. Na matemática a série harmônica refere-se a uma série infinita, já na música, assim como na física, a série harmônica envolve um corpo em vibração que produz sons em diferentes frequências.

Na figura abaixo é possível visualizar uma corda vibrando, promovendo uma onda sonora que vai se dividindo e forma nós e ventre num movimento contínuo e simultâneo.

A partir de uma nota ou frequência fundamental, outras frequências múltiplas da primeira são produzidas, e tudo é percebido como parte do timbre característico da corda. Isso quer dizer que, ao ser tocada, a nota vai produzir sons infinitos com intervalos entre si característicos: o harmônico fundamental (nota primeira) confirmando harmônicos múltiplos.

A série harmônica se baseia em frequências, altura das notas e devido a isso existem inúmeras séries harmônicas. A sonoridade das notas não permanecem as mesmas em diferentes séries harmônicas.

Por exemplo, se pensarmos a série harmônica de Lá1, a nota Sol4 (a segunda terça menor de acordo com a sequência acima, a 26ª nota em relação a Lá1) detém a frequência de 770 Hz. Comparando-a com a série harmônica de Dó2, a mesma nota Sol4 (a primeira terça menor de acordo com a sequência acima, a 23ª nota em relação a Dó2) tem frequência de 786 Hz.

Isso é importante porque marca que não há uma constância entre o som das notas, ela varia de acordo com a nota fundamental. Sendo assim, temos que a base do sistema musical antigo e moderno é baseada pela série harmônica.

Todas as notas das mais variadas escalas (pentatônica, heptatônica, maior, menor, melódica, harmônica, cromática etc.) se originam das séries harmônicas. Entretanto, a série harmônica porta diferenças na sonoridade dos intervalos e é essa diferença que impedia que determinados instrumentos tocassem em conjunto, uma vez que iriam soar desafinados, apesar de emitirem as mesmas notas.

Para dar conta disso, criou-se o sistema de temperamento de instrumentos. Esse sistema, introduzido na época da música barroca (por volta do século XVIII), alterando as frequências de algumas notas para permitir que todos os intervalos de quinta e oitava sejam consonantes, ou seja, concordem entre si. Temos que a harmonia é um conjunto de sons dissonantes que se concordam.

O número harmônico é o número real, aquele que detém um infinito de números que ao ser escrito, deixa de um de fora, impossível de ser escrito junto à sequência, a série, a cadeia, e é justamente esse impossível que permite que os outros possam ser escritos.

Se pensarmos a frequência fundamental, a nota inicial da série produzindo sons que se dão no contínuo e não se amarram, não se fixam, uma vez que prenunciam sonoridades diferentes, é possível estabelecer uma relação.

Aquilo que vem na sequência de notas de uma determinada série harmônica marca um infinito imperceptível ao ouvido humano, e quanto mais os intervalos dessa série vão ficando menores, mais dissonantes ficam os sons. Para fazer com que esses sons se concordem (premissa base da harmonia musical) a sonoridade original dos mesmos se perde, temperam-se as notas, mascaram-se as mesmas para que o som fique agradável aos ouvidos. Algo fica excluído, fica de fora, a incompatibilidade de frequências assevera um mal-estar que a própria harmonia musical tenta resolver abandonando os sons originais por suas aproximações.

b) Somatória infinita de uma Progressão Geométrica (PG):

Sabe – se que a soma dos termos de uma PG finita é dada pela seguinte fórmula:

S_n= (a_1×(q^n-1))/(q-1)

Se for considerada uma PG com a razão sendo um número entre -1 e 1, ou seja, – 1 < q < 1, a fórmula para a soma dos termos sofre uma variação, em virtude de a razão estar compreendida nesse intervalo.

Acontece que para – 1 < q < 1, à medida que o número de elementos n aumenta indefinidamente, ou seja, tende ao infinito, a expressão qn se aproxima muito de zero, ou seja, tende a zero.

Dessa forma, ao substituir qn por zero, a fórmula da soma fica:

S_∞=(a_1×(0-1))/(q-1)=(-a_1)/(q-1)

Chega – se a conclusão que a expressão que nós dá a soma de uma PG infinita com o intervalo de razão – 1 < q < 1 é:

S_∞=a_1/(1-q)

Exemplo: Dada a PG (1,1/2,1/4,1/8,1/16…), obtenha a soma de todos os seus termos.

Ao analisar a PG acima conclui – se que os valores de a1 e a2 são:

a_1=1

a_2=1/2

Calcula – se o valor da razão q através da expressão:

q=a_2/a_1 =(1⁄2)/1=1/2 ,

Logo que encontra – se no intervalo entre -1 e 1. Assim segue – se a determinação da soma da PG infinita:

S_∞=a_1/(1-q)=1/(1-1⁄2)=2

c) Relação entre as séries harmônicas, soma infinita de uma Progressão Geométrica (PG) e a Constante de Euler:

http://www.dm.ufscar.br/~sampaio/calculo1_aula01.pdf. Acessado em 25 abril de 2012.

http://www.lizardonunes.pro.br/PDFs/Cinematica_Aula3.pdf. Acessado em 25 abril de 2012.

http://www.escoladepsicanalise-ma.com.br/publicacao.php?id_artigo=15. Acessado em 26 de abril de 2012

http://www.alunosonline.com.br/matematica/soma-dos-termos-uma-pg-infinita.html. Acessado em 26 de abril de 2012.