A derivada da função

Introdução:

A derivada de uma função é utilizada para diversas finalidades, algumas das quais iremos explorar neste trabalho, porém não é possível generalizar as aplicações que podemos atribuir às derivadas e limites, muitos recursos podem ser criados a partir dos seus conceitos, bastando para isto, à criatividade de cada mente a se manifestar. A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade. Enfim, temos muito que extrair das derivadas, elas nos fornecem vários artifícios para manipular os números em uma função, possibilitando diversas maneiras de extrair informações. Trazem um novo meio, capaz de nos elucidar novas formas de analisar dados numéricos.

Desenvolvimento:

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice vai crescendo, tende para infinito.

Exemplo: Consideremos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1.

a. Preencher metade dessa figura.

b. Preencher metade do que restou em branco.

c. Preencher, novamente, metade do que restou em branco.

Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente, a área acurada vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto é, a medida da área vai se aproximando de 1 ou tendendo a 1.

1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8, , 1

Dizemos então que o limite desse processo, quando o número de partes preenchidas tende a um valor maior do que qualquer valor imaginável, é preencher a figura toda. Área preenchida: ½ + ¼ = ¾ uma área preenchida igual a 1. Quando dizemos que a área preenchida tende a 1, significa que ela se aproxima de 1, sem assumir esse valor. Dizemos que o limite da função f(x) quando x tende a “a” é igual ao número real L se, e somente se, os números reais f(x) para os infinitos valores de x permanecerem próximo de L, sempre que x estiver muito próximo de “a”.

Aplicação de limites e derivadas:

Ex 1: Calcular as vendas de uma indústria.

No ponto P. Este ponto é denominado de Ponto de Inflexão.

y (unidade de milhar)

100 V(q)

Côncavo para baixo

80 P(6,80)

A figura abaixo mostra o total de vendas (V), em reais, de um determinado produto produzido pela indústria “TAURUS de produtos bélicos” contra a quantia de dinheiro (q) que a indústria gasta anunciando seu produto. Observe que o gráfico muda de concavidade

Côncavo para cima 50

0 2 4 6 8 10

q (unidade de milhar)

Note que no início as vendas ocorrem lentamente, porém, à medida que aumenta o investimento financeiro da indústria em propaganda, as vendas passam a crescer rapidamente. Porém, chega-se