AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES.

               ANHANGUERA[pic 3]

ENGENHARIA CIVIL

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E SÉRIES.

PROFESSOR:

Introdução

Modelagem de sistemas equações diferenciais aborda e estuda situações reais afim de prever comportamentos físicos .Esta ATPS tem por objetivo mostrar, modelar,,identificar elementos de um circuito  simples determinando a função de um circuito elétrico, utilizando mecanismos matemáticos.

ETAPA 1

Aula-tema: Equações Diferenciais e séries.Aplicações e Modelagem.

Passo 1

Pesquisar e estudar sobre modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

A equação diferencial é uma equação que as incógnitas são funções e a equação envolve derivadas destas funções.

Aplicações das equações diferenciais é frequentemente desejável descrever comportamentos,fenômenos em termos matemáticos e físicos.

Passo 2

Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de integração de funções de uma variável.

Passo 3

Estudar o método de resolução de equações diferenciais lineares de variaveis separaveis e de primeira ordem.

Passo 4

Pesquisar em livros artigos e sites sobre a modelagem de circuitos elétricos por meio de equações diferenciais.

ETAPA 2

Passo1

Escolher um dispositivo cujo circuito elétrico será estudado,identificar os elementos desse circuito e determinar a função de cada elemento no referido circuito.

[pic 4]

Figura 1: Circuito RC simples em serie, apresentado com, Resistor, Capacitor ,Fonte,Chave.

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Resistor: São peças utilizadas em circuitos elétricos que tem como principal função converter energia  elétrica  em energia térmica.

Capacitor:É um elemento do circuito elétrico  responsável  pelo acumulo de cargas para libera-la no momento certo.

Fonte: Tensão.

Passo 3

Representar o circuito eletrico(ou  o circuito eletrico equivalente) escolhido em diagrama,com base na simbologia dos elementos eletricos.

[pic 8]

Passo 4

Modelar o circuito eletrico observando as tecnicas de equações diferenciais,detalhando cada etapa da modelagem.

U(t) = C [pic 9]

 [pic 10][pic 11]

 -    +  (t)[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

Etapa III

Passo I e II.

Considere o caso simples onde  para todo t e   (descarga do capacitor).[pic 17][pic 18]

Então , a solução analítica de 3 de (3) pode ser obtida :

 = -    =  - [pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

                                  [pic 24][pic 25][pic 26]

                              [pic 27]

Representar graficamente a solução encontrada no passo anterior:

[pic 28]

Figura: Curva de descarga do capacitor em um circuito RC.

Passo III e Passo IV.

Portanto a partir da solução,deduzimos que a tensão no capacitor decresce exponencialmente na taxa inversa de RC:

 (t) = e -  + k =  e -  = v  [pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

Para um circuito RC onde R = 2  Ω, C = 0.1 F e     , a curva pode ser observada na figura acima;[pic 35]