ATPS Algebra Linear

UNIVERSIDADE ANHANGUERA

ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

ATPS – ALGEBRA LINEAR

Sistemas de Equações Lineares

ETAPAS 02, 03 e 04

Grupo:

OSASCO, 16 DE MAIO DE 2012

ATPS Algebra Linear Etapa 2, 3 e 4

Sistemas de Equações Lineares

Definição:

Um sistema de equações lineares pode ser definido como um conjunto de n equações com n variáveis independentes entre si na forma algébrica:

Classificação dos sistemas quanto ao número de soluções

Dizemos que o sistema S é possível (ou compatível) se tiver pelo menos uma solução, e impossível (ou incompatível) se S não tiver nenhuma solução.

Se o sistema for possível e tiver uma única solução, então dizemos que é possível e determinado, porém, se o sistema tiver mais de uma solução, então diremos que é possível e indeterminado.

Ou seja:

Determinados D ≠ 0

Sistemas Possiveis

Indeterminados D=0 e Dx, Dy,...Dn = 0

Sistemas Impossiveis D=0 e Dx, Dy...Dn ≠ 0

Matemática por Paulo Marques

[e-mail]

Regra de Cramer para a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas.

Gabriel Cramer - matemático suíço - 1704/1752.

Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3

....................................................= ...

....................................................= ...

an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn

onde os coeficientes a11, a12, ..., ann são números reais ou complexos, os termos independentes

b1, b2, ... , bn , são números reais ou complexos e x1, x2, ... , xn são as incógnitas do sistema nxn.

Seja  o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.

Seja  xi o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes da incógnita xi ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos independentes b1, b2, ... , bn.

A regra de Cramer diz que:

Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo denominador é o determinante  dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante  xi, ou seja:

xi =  xi / 

Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:

x + 3y - 2z = 3

2x - y + z = 12

4x + 3y - 5z = 6

Para o cálculo dos determinantes teremos:

Portanto, pela regra de Cramer, teremos:

x1 =  x1 /  = 120 / 24 = 5

x2 =  x2 /  = 48 / 24 = 2

x3 =  x3 /  = 96 / 24 = 4

1.1 DESAFIO

Atualmente, o mundo corporativo possui uma dinâmica jamais vista. As tecnologias

nascem O desafio consiste na resolução de um circuito e a exploração dos aspectos teóricos

relacionados ao mesmo, entendendo os detalhes e os aspectos da matemática usados na

resolução de um problema de eletrônica usando as ferramentas de Álgebra Linear.

Esta proposta é importante para que se exerça uma maior conexão entre a teoria e a

prática Considerando-se o circuito com resistores e baterias (geradores de tensão)

apresentado na figura, tal como