ATPS CALCULO III

ETAPA 3:

Passo 1:

Utilizando a integral definida para calcular a área entre duas curvas:

O estudo das integrais definidas foi motivado pelo cálculo de áreas, como já vimos na semana anterior. Nesta semana iremos estudar o cálculo de áreas mais gerais utilizando as integrais definidas.

Considere f e g funções contínuas em um intervalo [a,b] tais que f(x) ≥ g(x) ≥ 0, ou seja, os gráficos de f e g estão acima do eixo x e o gráfico de f está acima do gráfico de g, conforme exemplo na figura ao lado. Como encontrar o valor da área que está abaixo do gráfico de f, acima do gráfico de g e entre as retas x=a e x=b?

Observe que a área procurada pode ser obtida descontando a área sob o gráfico da g da área sob o gráfico da f, conforme figura ao lado. Em termos de integrais definidas temos:

∫ab f(x)dx - ∫ab g(x)dx = ∫ab f(x) - g(x)dx.

Este problema pode ser proposto de forma mais geral, sem exigir que f(x) ≥ g(x) ≥ 0. E o raciocínio anterior indica a solução deste problema.

Fórmula para a área:

Se f e g forem contínuas no intervalo [a,b] e se f(x)≥g(x) para todo x em [a,b], então a área da região limitada acima por y=f(x), abaixo por y=g(x), à esquerda pela reta x=a e à direita pela reta x=b é:

A = ∫ab [f(x) - g(x)]dx

Note que o raciocínio anterior não explica de forma rigorosa a fórmula para a área, apenas indica. Para obter uma solução mais formal, pode-se estabelecer uma Soma de Riemann para a integral ∫ab [f(x) - g(x)]dx.

É importante salientar que esta fórmula fornece o valor exato da área, sem sinal. Usualmente memorizamos essa fórmula por "integral da função de cima menos a de baixo".

Passo 2:

Leiam o desafio abaixo:

Considerem as seguintes regiões S1 (Figura 1) e S2 (Figura 2). As áreas de S1 e S2 são,

Respectivamente 0,6931 u.a. e 6,3863 u.a.:

Podemos afirmar que:

(a) (I) e (II) são verdadeiras

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa

(d) (I) e (II) são falsas

a) Figura 1

∫_1^2▒1/x dx=ln⁡〖x ■(2@1) 〗= 〖(ln〗⁡2)-(ln⁡〖1)=0,693147 u.a〗

b) Figura 2

〖4∫_0^4▒4/x dx=4(4 ln⁡〖x) ■(4@0) 〗= 〖4[(4ln〗⁡4)-(4 ln⁡〖0)]=22,18 u.a〗〗^

Resposta Correta: Alternativa “C”.

Passo 3:

Marquem a resposta correta do desafio proposto no passo 2, justificando, por meio dos

cálculos realizados, os valores lógicos atribuídos.

Para o desafio:

Associem o número 6, se a resposta correta for a alternativa (a).

Associem