ATPS Calculo III

ETAPA 2

Passo 1

CONSIDERAÇOES INICIAIS

A integração é um processo que demanda certa habilidade e técnica, ele provê um meio indispensável para análises de cálculos diversos, além disso o meio de integrar certas funções deve ser exercitado até que sejamos capazes de absorver a sua essência. O problema da integração deve ser visto como uma análise que pode conduzir a resultados algébricos diversos, quando tomadas técnicas diversas, que concordam, porém, em resultado numérico.

Devido à necessidade de exercício dessas técnicas que apresentaremos, teremos mais exemplos neste capítulo, uma ótima maneira de introduzir o conteúdo enquanto a teoria é exposta. A natureza diversa das formas de integrais nos obriga a fazer este estudo a parte, pois certas funções são peculiarmente difíceis de serem analisadas antes da utilização de algum artifício que permita sua simplificação, este é o objetivo deste capítulo: trazer ao leitor os processos de integração e as diversas possibilidades de simplificação de funções para a aplicação destes processos.

INTEGRAÇÃO POR PARTES

A técnica de integração por partes consiste da utilização do conceito de diferencial inversa aplicado à fórmula da regra da diferencial do produto, ou seja:

Que após a antidiferencial se torna:

E, portanto:

A utilização desta fórmula para melhorar o processo de integração implica na necessidade de uma breve explanação, o processo consiste em observar a função a ser integrada como sendo uma integral , ou seja, devemos separar a função em duas partes: uma, chamamos de u, que consideraremos função primitiva e outra dv que será uma diferencial, desta forma, faremos a integração da parte dv para encontrar v e depois subtrairemos a integral da mesma com relação a diferencial de u: du. Parece um tanto incomum a princípio, porém após o hábito no uso da técnica, esta se torna muito útil.

Outro fato deve ser explorado: como o processo demanda a integração da diferencial dv nos vem a questão sobre a necessidade de utilização da constante de anti diferenciação C, portanto façamos a verificação da fórmula utilizando-a:

Se ,

Ou seja, a constante é dispensável para o cálculo da integral que resulta em v.

Exemplo da Integração por partes:

ʃx . ex dx =

ʃx . ex dx = x . ex - ʃex 1dx

x . ex - ex + C

Utilizando a propriedade

ʃu . dv = UV - ʃV . DV

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

É importante sermos capazes de encontrar antiderivadas. Mas nossas fórmulas de