ATPS Calculos III

Etapa 1

Passo1

Conceito de Integral Indefinida.

Sabemos que a derivada é um dos conceitos mais importantes do Cálculo. Outro conceito também muito importante é o de Integral. Existe uma estreita relação entre estas duas idéias. Assim, nesta seção, será introduzida a idéia de integral, mostrando sua relação com a derivada.

Se a função F(x) é primitiva da função f(x), a expressão F(x)+C é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por

onde

− é chamado sinal de integração;

f(x) − é a função integrando;

dx – a diferencial que serve para identificar a variável de , integração;

C – é a constante de integração.

Lê-se: Integral indefinida de f(x) em relação a x ou simplesmente integral de f(x)em relação a x. O processo que permite encontrar a integral indefinida de uma função é chamado integração.

Integral definida

Seja uma função contínua definida no intervalo . A integral definida desta função é denotada como:

é a integral da função , no intervalo entre e . é o sinal da integral, é o integrando e os pontos e são os limites (inferior e superior, respectivamente) de integração.

Onde é uma função com domínio no espaço fechado [a,b] (com ) e com imagem no conjunto dos números reais

A ideia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório4 . Isto porque, intuitivamente, a integral de sobre o intervalo pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base tendendo a zero e altura , onde o produto é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas (áreas infinitesimais), fornece a área entre a curva e o eixo das abscissas. Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma:

A integral de no intervalo [a,b] é igual ao limite do somátório de cada um dos valores que a função f(x) assume, de 0 a n, multiplicados por . O que se espera é que quando n for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e, portanto, da integral de no intervalo. Ou seja, que o limite esteja definido. A definição de integral aqui apresentada é chamada de soma de Riemann, mas há outras formas (equivalentes).

onde comprimento dos pequenos subintervalos nos quais se divide o intervalo [a,b]. Os extremos destes intervalos são os números .

onde Valor ("altura") da função quando x é igual ao ponto amostral , definido como um ponto que está no subintervalo (podendo até mesmo ser um destes pontos extremos do subintervalo).

Uma integral definida pode ser própria ou imprópria, convergente ou divergente. Neste último caso, ela representa uma área infinita.

Calculo de área

Os cálculos relacionados a áreas de figuras planas regulares são de certa forma realizados facilmente, devido às fórmulas matemáticas existentes. No caso de figuras como o triângulo, quadrado, retângulo, trapézios, losangos, paralelogramo entre outras, basta relacionarmos as fórmulas à figura e realizar os cálculos necessários. Algumas situações exigem ferramentas auxiliares na obtenção de áreas, como exemplo as regiões existentes sob uma curva. Para tais situações utilizamos os cálculos envolvendo as noções de integrações desenvolvidas por Isaac Newton e Leibniz.

Passo 2

Leiam os desafios propostos:

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de:

Resposta (b)

(a4/4*3)+(3

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C′(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C (0) = 10.000 , a alternativa que expressa C(q) , o custo total para se perfurar q pés, é:

(a) 2 C(q) =10.000 + .1 000q + 25q

(b) 2 C(q) =10.000 + 25q + .1 000q

(c) 2 C(q) =10.000q

(d) 2 C(q) =10.000 + 25q

(e) 2 3 C(q) =10.000q + q + q

Resposta (a)

1000dq+50d.dq

C(q)=1000q+50q22

C(q)=1000q+25q2+c

C(q)=1000+25q2+1000

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t)=16,1 ⋅ e0,07t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

(a) 56,43 bilhões de barris de petróleo

(b) 48,78 bilhões de barris de petróleo

(c) 39,76 bilhões de barris de petróleo

(d) 26,54 bilhões de barris de petróleo

(e) Nenhuma das alternativas

Resposta (c)

Ct=16,1.e0,07t= Ct=16,1.e0,07t=

C2= 16,1.e0,07.2= C2= 16,1.e0,07.4=

C2=18,52 bilhões C2=21,30 bilhões

18,52 bilhões + 21,30 bilhões = 39,76 bilhões

Desafio D

A área sob a curva y = ex/2 de x=-3a x=2 é dada por:

(a) 4,99

(b) 3,22

(c) 6,88

(d) 1,11

(e) 2,22

Resposta