ATPS Calulo3 Etapa 1

Integral definida e Integral indefinida

De acordo com Hughes-Hallett (2008), a integral definida pode ser usada não apenas para calcular distância, como também muitas outras quantidades, tais como área debaixo de uma curva e o valor médio de uma função. Dada uma função, podemos determinar à derivada, porém muitas aplicações importantes do cálculo envolvem o problema inverso, dada uma determinada derivação de uma função, determinarmos a função. Como varia a velocidade de um corpo que se move em linha reta com aceleração conhecida, ou como podemos usar a taxa de inflação para prever os preços futuros, ou ainda, encontrar a quantidade total mensal de óleo que poderá ser extraído de um poço de petróleo recém descoberto, nessas situações, a derivada (taxa de variação) de uma grandeza é conhecida e estamos interessados em determinar o valor da própria grandeza.

Segundo o site ecalculo.if.usp.br, os primeiros problemas que apareceram na história relacionados com as integrais são os problemas de quadratura (termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas) . Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi a medição de superfícies afim de encontrar suas áreas. As figuras curvilíneas fascinavam os geômetras, como o circulo, ou arcos, e por volta de 430 a.C, Antifon procurou encontrar a quadratura do circulo através de uma sequencia infinita de polígonos regulares, porém esta sequência nunca poderia ser concluída, dando origem ao método de exaustão.

Uma das maiores contribuições grega para o cálculo fora o teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola, de acordo com o site ecalculo, ele gerou uma soma com infinitos termos e conseguiu provar os resultados, e outras integrais fora utilizadas por Arquimedes para encontrar o volume da esfera e a área da superfície esférica, o volume do cone e a área da superfície cônica. No final do século XVI a mecânica levou matemáticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade contribuíram para o cálculo integral. O nome Cálculo Integral foi criado por Johann Bernoulli e publicado pela primeira vez por seu irmão mais velho Jacques Bernoulli em 1690, que também pode ser chamado de calculo infinitesimal.

Além disso, podemos citar as contribuições de matemáticos como Isaac Newton e Gottifried Lebniz, em trabalhos independentes, segundo Wikipedia, Com o advento do "Teorema Fundamental do Cálculo" estabeleceu-se uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área.

Desafios Propostos

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de:

Resposta: B

F(a)=13a3+31a3+31a=

F(a)=13.a44+31.a-2-2+3.lna=

F(a)=a412-32a2+3.lna+c

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$10.000 e um custo marginal de C´(q)= 1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0)= 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

Resposta: A

1000dq+50d.dq=

C(q)=1000q+50q22=

C(q)=1000q+25q2+c=

C(q)=1000+25q2+10000

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado