ATPS De Cálculo Ii Etapa 2

ETAPA 2

Passo 1

A constante de Euler

A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notação C para a constante, e inicialmente calculou seu valor até 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus cálculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemático italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notação γ para a constante, e tentou estender o cálculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de cálculos subsequentes terem mostrado que ele cometera erros na 20°, 22° e 32 casas decimais. (Do 20° dígito, Mascheroni calculou 1811209008239.)

Não se sabe se a constante de Euler-Mascheroni é ou não um número racional. No entanto, análises mostram que se γ for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dígitos. A constante de Euler-Mascheroni é uma constante matemática com múltiplas utilizações em Teoria dos números. Ela é definida como o limite da diferença entre a série harmônica e o logaritmo natural.

Que pode ser condensada assim :

em que E(x) é a parte inteira de x.

A demonstração da existência de um tal limite pode ser feita pela aplicação do método da comparação série-integral. As aplicações da constante incluem sua relação com a função gama e a fórmula da reflexão de Euler, além da relação com a função zeta de Riemann e com integrais e integrações impróprias da função exponencial para determinados valores de .

As 100 primeiras decimais dessa constante são:

γ≈0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495

Em 1781, Leonhard Euler obteve as 16 primeiras decimais graças ao método de soma de Euler-Mac Laurin. Lorenzo Mascheroni determinou 32 decimais para a sua obra Geometria del compasso, que contribuiu a tornar conhecida a constante.

Convergência

Como podemos escrever:

Como

Mostremos que a série converge uniformemente, para tal usamos a estimativa:

Essa última expressão corresponde à

Que é a série telescópica Dessa forma,

Construir uma tabela com os cálculos e resultados aplicados na fórmula abaixo utilizando os seguintes valores para n = {1,5,10.50,100.500.1000,5000,10000,100000,1000000}, esboçar um gráfico representativo, e fazer a conclusão a respeito.

Conforme a função tende a +∞, mais ela se aproxima de 2,72. Conforme tabela abaixo:

e = limn→∞ ( 1+2¦n)n

n RESULTADO

1 2

5 2,48832

10 2,59374246

50 2,691588029

100 2,704813829

500 2,715568521

1000 2,716923932

5000 2,71801005

10000 2,718145927

100000 2,718268237

1000000 2,718280469

Passo 2

Pesquisar sobre “séries harmônicas” na música, na matemática e na física e sobre somatória infinita de uma PG. Fazer um relatório resumo com as principais informações sobre o assunto de pelo menos 1 página e explicar como a Constante de Euler se relaciona com série harmônica e com uma PG, mostrando as similaridades e as diferenças.

Séries Harmônicas

As séries infinitas são conhecidas desde a antiguidade, e a primeira a ocorrer na História da Matemática é uma série geométrica de razão ¼, que intervém no cálculo da área da parábola feito por Arquimedes. Depois do ocorrência de uma série geométrica num trabalho de Arquimedes, as séries infinitas só voltaram a aparecer na Matemática cerca de 1500 anos mais tarde, no século XIV. Nessa época havia um grupo de matemáticos na Universidade de Oxford que estudava a cinemática, ou fenômeno do movimento; e, ao que parece, foi esse estudo que levou à reconsideração das séries infinitas. Ao lado dos pesquisadores de Oxford, havia também pesquisava em outros centros. Na Universidade de Paris, em particular, havia um professor chamado Nicole Oresme (1325-1382), um destacado intelectual em vários ramos do conhecimento, como Filosofia, Matemática, Astronomia, Ciências Físicas e Naturais. Além de professor universitário, Oresme era conselheiro do rei, principalmente na área de finanças públicas; e nessa função revelou-se um homem de larga visão, recomendando medidas monetárias que tiveram grande sucesso na prática. Ao lado de tudo isso, Oresme foi também bispo de Lisieux. Um dos trabalhos mais notáveis de Oresme sobre as séries infinitas está ligado à série harmônica. Antes, porém, de falar da série harmônica, temos de explicar o que significa dizer que uma série é convergente ou divergente. A idéia de “série infinita” aparece na Matemática quando imaginamos ao peração de somar parcelas sucessivamente sem que essa operação termine após um número finito de parcelas somadas. Deixando de lado qualquer preocupação com a rigorização desse conceito, vamos examinar algumas séries infinitas simples. Por exemplo,

Trata-se de uma progressão geométrica infinita de razão 1/2 e a soma de seus termos é dada por S= 1/=2.

1_1/2

Séries que têm soma finita são chamadas de séries convergentes. Mas é fácil imaginar séries que não sejam convergentes.