ATPS Equaçoes Diferencias

Etapa I

Passo I

Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

A modelagem matemática é a área do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos campos de estudo, como física, química, biologia, economia e engenharia. Modelagem matemática consiste na Arte de se descrever matematicamente um fenômeno.

A modelagem de um fenômeno via equações diferenciais, é normalmente feita da seguinte forma: através da simples observação conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno (que do ponto de vista matemático são derivadas), escreve-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada e, a partir da solução desta equação tem-se uma possível descrição do fenômeno.

Passo II

Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de integração de funções de uma variável.

Equações diferenciais

DEFINIÇÃO: Equação diferencial é uma equação que apresentam derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação).

Equação diferencial ordinária (EDO) e Parcial (EDP): Envolve derivadas de uma função variável independente.

ORDEM: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.

Exemplos:

y' = 2x tem ordem 1 e grau 1

y"+x2(y')3 - 40y = 0 tem ordem 2 e grau 3

y"'+x2y3 = x.tanx tem ordem 3 e grau 3

RESOLUÇÃO

A solução de uma equação diferencial é uma função que não contêm derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade).

Ex: Equação diferencial ordinária: = 3x2 - 4x + 1

dy = (3x2 - 4x + 1) dx

dy = 3 x2dx - 4 xdx + dx + C

y = x3 - 2x2 + x + C (solução geral)

Métodos de integração

Os métodos ou técnicas de integração são muito importantes para a resolução de integrais que aparentemente não possuem uma primitiva elementar. As técnicas mais usuais são a da substituição, por partes e por frações parciais.

Integração por substituição

Considere a seguinte integral:

∫f(g(x))g′(x)dx

A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variáveis u=g(x), onde g(x) é uma função qualquer contínua no domínio de integração. Fazendo du=g′(x)dx:

∫f(u)du

Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde uma é derivada da outra (podendo diferir de uma constante).

Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções trigonométricas). Para tal, são necessários prática e alto poder de careação.

Substituições trigonométricas

As substituições trigonométricas são muito úteis quando encontramos integrais contendo expressões da forma:

Neste caso, as substituições adequadas são:

Passos para a integração:

Passo I: Faça uma escolha para u. Ex.: u=g(x).

Passo II: Calcule du/dx=g′(x).

Passo III: Faça a substituição u=g(x), du=g′(x)dx. Neste ponto a integral deve estar em termos de u. Se isso não acontecer, deve-se tentar uma nova escolha para u.

Passo IV: Calcule a integral resultante, se possível.

Passo V: Substituir u por g(x); assim, a resposta final estará em termos de x.

Integração por partes

Pela regra do produto para derivadas, sabe-se que [u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x), com u e v deriváveis. Através de manipulações algébricas, e integrando a equação, temos:

∫u(x)v′(x)dx=∫[u(x)v(x)]′dx−∫v(x)u′(x)dx

∫u(x)v′(x)dx=u(x)v(x)−∫v(x)u′(x)dx

∫u(x)dv=u(x)v(x)−∫v(x)du, que é a fórmula da integração por partes.

Integração por frações parciais

A técnica de frações parciais é muito útil na resolução de integrais do tipo:

∫f(x)g(x)h(x)dx

A integral pode ser representada por:

∫Ag(x)+Bh(x)dx, no qual