ATPS FISICA II

ATPS DE FÍSICA II

ETAPA 1

Aula Tema: Leis de Newton

Essa etapa é importante para aprender a aplicar a segunda lei de Newton em casos reais em que a força resultante não é apenas mecânica, como um puxão ou empurrão, um corpo. No caso do acelerador LHC, os prótons no seu interior estão sujeitos a uma força elétrica. Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

PASSO 1

Supor um próton que voa no interior do anel do LHC, numa região que o anel pode ser aproximado por um tubo retilíneo, conforme o esquema da figura 3. Supondo ainda que nessa região, o único desvio da trajetória se deve à força gravitacional Fg e que esse desvio é corrigido (ou equilibrado) a cada instante por uma força magnética Fm aplicada ao próton. Nessas condições, desenhar no esquema o diagrama das forças que atuam sobre o próton.

℗

Figura 3: Próton voando no interior do tubo do LHC.

Diagrama de Forças:

℗

Equação:

=

- =

=

Passo 2:

Supondo que seja aplicada uma força elétrica Fe = 1,00 N sobre o feixe de prótons. Sabe-se que em média o feixe possui um número total n = 1x1015 prótons. Se essa força elétrica é responsável por acelerar todos os prótons, qual é a aceleração que cada próton adquire, sabendo-se que sua massa é mp =1,67 x 10-24 g. Atenção: Desprezar a força gravitacional e a força magnética.

Fe=1,00N

n=1 x 1015 prótons

mp=1,67 x 10-24g – transformando em kg - 1,67 x 10-24g x 1000 = 1,67 x 10-27kg

= m x

=m x

a=

a=

a=5,98x10-28

a=5,98x10-28m/s2

=5,98x10-28m/s2 î

Passo 3:

Se ao invés de prótons, fossem acelerados núcleos de chumbo, que possuem uma massa 207 vezes maior que a massa dos prótons. Determinar qual seria a força elétrica Fe necessária, para que os núcleos adquirissem o mesmo valor de aceleração dos prótons.

mchumbo= mchumbo x mp= 207 x 1,67x10-27(massap) = 3,4569x10-22

Fe=?

a=5,98x10-28m/s2

=

=m x

Fe=mchumbo x a

Fe=3,4569x10-22 x 5,98x10-28

Fe=2,0603x10-49N

=2,0603x10-49N î

Passo 4:

Considerar agora toda a circunferência do acelerador, conforme o esquema da figura 4. Assumindo que a força magnética Fm é a única que atua como força centrípeta e garante que os prótons permaneçam em trajetória circular, determinar qual o valor da velocidade de cada próton em um instante que a força magnética sobre todos os prótons é Fm = 5,00 N. Determinar a que fração da velocidade da luz (c = 3,00 x 108 m/s) corresponde esse valor de velocidade.

Figura 4: Diagrama do anel do LHC

V=?

Fm= Fcp =5,00N

mp=1,67x10-22

r=4,3km tranformar em metros – 4,3 x 1000 = 4300 m

=

= = m x

=m x

5,00=1,67x10-27 x

V2 x 1,67x10-27=5,00 x 4300

V2=

V=

V=3,59x10-12

Relatório:

O LHC(Grande Colisor de Hádrons) é uma maquina para reproduzir uma pequena replica do buraco negro. No seu interior há um anel de aproximadamente 4,3 km de diâmetro, e neste anel circula feixes de prótons que estão sujeitos a uma força elétrica. No primeiro passo desta APTS foi demonstrado a ação da Força Gravitacional ( ) sobre este próton e se equilibrando com uma força contraria, a Força Elétrica( ) para que não aja interferência sobre ele e mantenha sua trajetória retilínea demonstrado no passo 1 da Etapa 1, com o Diagrama de Forças. No passo 2 foi feito uma experiência nos cálculos, ao invés de próton, calculamos a massa de chumbo(mchumbo) para comparar a ação da Força Elétrica( ) sobre ambos materiais, sendo que a força aplicada sobre o próton foi maior do que a força aplicada ao chumbo, utilizando como base de cálculos a mesma aceleração. Como o feixe de prótons circula dentro de um tubo circular foi calculado sua velocidade, tendo como base sua Força Centrípeta ( ).

ETAPA 2

Passo 1

Ler as seguintes considerações para este e os próximos passos:

Sabe-se que no interior do tubo acelerador é feito vácuo, ou seja, retira-se quase todo o ar existente no tubo. Isso é feito para impedir que as partículas do feixe se choquem com as partículas. Supor um cientista que se esqueceu de fazer vácuo no tubo acelerador. Ele observa que os prótons acelerados a partir do repouso demoraram 20 μs para atravessar uma distância de 10 m. Determinar qual é a força de atrito FA total que o ar que o cientista deixou no tubo aplica sobre os prótons do feixe, sabendo que a força elétrica Fe (sobre todos os 1×1015 prótons) continua igual a 1N.

FA=?

mp=1,67x10-27kg

Fe=2,0603x10-49N

a=?

S=Sot + Vot x

10=0+0x

10=ax2x10-10

a=

a=5x10-10

=

- =m x

-FA=m x a- Fe

-FA=1,67x10-27 x 5x10-10-2,0603x10-49

-FA=8,35x10-37 (x-1)

FA=8,35-37 N î

Passo 2

Quando percebe o erro, o cientista liga as bombas para fazer vácuo. Com isso ele consegue garantir que a força de atrito FA seja reduzida para um terço do valor inicial. Nesse caso, qual é a força de atrito? Determinar qual é a leitura de aceleração que o cientista vê em seu equipamento de medição.

FA=8,35x10-37N – 1/3=-0,3333N

mp=1,67x10-27kg

a=?

=

=m x

a=

a=

a=-1,996x10-28

=-1,996x10-28 m/s2 î

Passo 3

Para compensar seu erro, o cientista aumenta o valor da força elétrica Fe aplicada sobre os prótons, garantindo que eles tenham um valor de aceleração igual ao caso sem atrito (passo 2 da ETAPA 2). Sabendo que ele ainda está na condição em que a força de atrito FA vale um terço do atrito inicial, determinar qual é a força elétrica Fe que o cientista precisou aplicar aos prótons do feixe.

FA=8,35x10-37N

Fe=?

mp=1,67x10-27kg

a=-1,996x10-28m/s2

=

- =m x

Fe =m x a + FA

Fe =6,87x10-50 x (-1,996x10-28) + 6,87x10-50

Fe =6,8699x10-51

Fe =6,8699x10-51 N î

Passo 4

Adotando o valor encontrado no passo 3, determinar qual é a razão entre a força Fe imposta pelo cientista aos prótons do feixe e a força gravitacional Fg, imposta pelo campo gravitacional.

Fg=?

Fe=6,8699x10-51N

mp=1,67x10-27kg

g=9,81m/s2

=

- =m x

-Fg=m x g - Fe

-Fg=1,67x10-27 x 9,81 – 6,8699x10-51

Fg=1,1255-76

Fg= 1,1255-76N

A razão entre as duas forças: Força Elétrica Fe e Força Gravitacional Fg:

= =6,1039x1025

Relatório:

No interior do LHC é retirado todo ar do interior do tubo para que as partículas do feixe não se choquem com as partículas. Com possibilidade de o cientista errar e não retirar todo o ar do interior do tubo calculou-se sua Força de Atrito FA sobre os prótons. Após o cientista perceber seu erro, foram ligadas as bombas para a retirada do ar do tubo, em seguida feito seu calculo da aceleração por consequência destas mudanças. Com isso teve um aumento em sua Força Elétrica, tendo que ser recalculada novamente, e no final foi achado a razão entre as duas forças, mostrando que a Força Elétrica Fe e maior em relação à Força Gravitacional Fg.

ETAPA 3

Aula-tema: Trabalho e Energia.

Essa etapa é importante para aprender a calcular a energia de um sistema de

partículas e a aplicar o teorema do trabalho e energia cinética a esse sistema, além da aplicação de um modelo. Para realizá-la, devem ser seguidos os passos descritos.

Passo 1

Determinar (usando a equação clássica Ec = 0,5mv2) quais são os valores de energia cinética Ec de cada próton de um feixe acelerado no LHC, na situação em que os prótons viajam às velocidades: v1 = 6,00 J 107 m/s (20% da velocidade da luz), v2 = 1,50 J 108 m/s (50% da velocidade da luz) ou v3 = 2,97 J 108 m/s (99% da velocidade da luz).

mp= 1,67x10-27kg

V1= 6,00x107m/s

V2= 1,50x108m/s

V3= 2,97x108m/s

Ec= 0,5 x m x

Ec1= 0,5 x 1,67x10-27x

Ec= 1,503x10-12 J

Ec2= 0,5 x 1,67x10-27x

Ec= 9,39x10-12 J

Ec3= 0,5 x 1,67x10-27x

Ec= 3,69x10-11 J

Passo 2

Sabendo que para os valores de velocidade do Passo 1, o cálculo relativístico da energia cinética nos dá: Ec1 = 3,10 x 10-12 J, Ec2 = 2,32 x 10-11 J e Ec3 = 9,14 x 10-10 J, respectivamente; determinar qual é o erro percentual da aproximação clássica no cálculo da energia cinética em cada um dos três casos. O que se pode concluir?

Valor do Calculo Clássico: Valor do Calculo Realístico:

Ec1= 1,503x10-12 J Ec1= 3,10 x 10-12 J

Ec2= 9,399x10-12 J Ec2= 2,32 x 10-11 J

Ec3= 3,69x10-11 J Ec3= 9,14 x 10-10 J

Erro(%)Ec1= ?

Erro(%)Ec2= ?

Erro(%)Ec3= ?

Erro(%)= [Ec Clássico – Ec Realístico] x 100

Ec Realística

= [1,503x10-12 – 3,10x10-12] x 100

3,10x10-12

Erro(%)Ec1= -5,16x10-23 %

Erro(%)Ec2= [9,39x10-12 – 2,32x10-11] x 100

2,32x10-11

Erro(%)Ec2= -5,95x10-21 %

Erro(%)Ec3= [3,69x10-12 – 9,14x10-10] x 100

9,14x10-10

Erro(%)Ec3= -9,96x10-19 %

Passo 3

Considerando uma força elétrica Fe = 1,00 N (sobre os 1 x 1015 prótons do feixe), determinar qual é o trabalho realizado por essa força sobre cada próton do feixe, durante uma volta no anel acelerador, que possui 27 km de comprimento.

Fe = 1,00 N

d = 27 km = 27.000 m

W= ?

W= Fexd

W= 1,00x27000

W= 27.000 J

Passo 4

Determinar qual é o trabalho W realizado pela força elétrica aceleradora Fe, para acelerar cada um dos prótons desde uma velocidade igual a 20% da velocidade da luz até 50% da velocidade da luz, considerando os valores clássicos de energia cinética, calculados no Passo 1. Determinar também qual é a potência média total P dos geradores da força elétrica (sobre todos os prótons), se o sistema de geração leva 5 μs para acelerar o feixe de prótons de 20% a 50% da velocidade da luz.

mp= 1,67x10-27kg

V1= 6,00x107m/s (20% da velocidade da luz)

V2= 1,50x108m/s (% da velocidade da luz)

W20%= ?

W50%= ?

Ptotal= ?

W20%= 1/2xmxV²

W20%= 1/2x1,67x10-27x(6,00x107m/s)²

W20%= 3,006x10-12 J

W50%= 1/2x1,67x10-27x(1,50x108)²

W50%= 1,88x10-11 J

Potência Média Total(P)

Wmédio= W50%- W20% = 1,88x10-11-3,006x10-12= 1,58x10-11

t= 5 μs = 5x103

P=

P Potência Média Total =

Potência Média Total=

Potência Média Total= 3,16x10-15 J

Relatório Etapa 3

Foi determinada a Energia Cinética (Ec) com valores clássicos e realísticos, obtendo também o erro percentual entre os valores obtidos da energia cinética clássica e realística. Calculado a Força Elétrica (Fe) sobre os feixes de prótons durante uma volta ao anel acelerador. Por final calculado o trabalho (W) realizado pela força elétrica aceleradora, com velocidades de 20% à 50% da velocidade da luz sobre, e também achado a Potência Média (P) da media destas velocidades sobre um tempo de 5μs.

ETAPA 4

Passo 1

Nesse e nos próximos passos, iremos trabalhar na condição em que os feixes possuem velocidades de até 20% da velocidade da luz, para que possamos aplicar os cálculos clássicos de momento. Determinar a posição do centro de massa do sistema composto por um feixe de prótons (P) que irá colidir com um feixe de núcleos de chumbo (Pb), no interior do detector ATLAS, supondo que ambos os feixes se encontram concentrados nas extremidades opostas de entrada no detector, com uma separação de 46 m entre eles. O feixe de prótons possui 1 J 1015 prótons, enquanto o de chumbo possui 3 xJ1013 núcleos. Lembrar-se de que a massa de cada núcleo de chumbo vale 207 vezes a massa de um próton.

mp= 1,67 x 10-27 kg

mPb= 3,46x10-22 kg

X1= 0m

X2= 46m

XCM=

XCM=

XCM=

XCM= 45,95m

Passo 2

Calcular o vetor momento linear total p de cada feixe, sendo as velocidades escalares vp = 6,00 x 107 m/s e vPb = 5,00 x 107 m/s e em seguida calcular o valor do momento linear total P do sistema de partículas.

= ?

Mp= 1,67 x 10-27 kg

MPb= 3,46x10-22 kg

vp = 6,00 x 107 m/s

vPb = 5,00 x 107 m/s

Momento Linear Total do Próton

= 1,67 x 10-27 x6,00 x 107

= 1,002x10-19 mxm/s

Momento Linear Total do Chumbo

= 3,46x10-22 x5,00 x 107

= 1,73x10-14 mxm/s

Momento Linear Total P

= +

= 1,002x10-19 + 1,73x10-14

= 1,73x10-14

Passo 3

Considerar agora que cada próton colide elasticamente apenas com um núcleo de chumbo, sendo a velocidade de cada um deles dada no Passo 2. Nessa condição, um cientista observou que após uma dessas colisões o núcleo de chumbo se dividiu em 3 fragmentos, tendo o primeiro massa 107 vezes maior que a massa do próton e os outros dois massas iguais, de valor 50 vezes maior que a massa do próton. Os dois fragmentos menores foram observados em regiões diametralmente opostas no interior do detector ATLAS, cada um em uma direção, formando um ângulo de 30 graus com a direção da reta de colisão, conforme esquematizado na figura 6. Nessas condições, determinar quais são os módulos das velocidades do próton, do fragmento maior e dos fragmentos menores de chumbo após a colisão, sabendo que o módulo da velocidade dos fragmentos menores é igual ao dobro do módulo da velocidade do fragmento maior.

Mp= 1,67 x 10-27 kg

MPb1= 107x 1,67 x 10-27 kg = 1,79x10-25 kg

MPb2,3= 50 x 1,67 x 10-27 kg = 8,5x10-26 kg

vp = 6,00 x 107 m/s

vPb = 5,00 x 107 m/s

xVp+ xVPb

Calculando a V com a Partícula de Chumbo107

x6,00 x 107 + x5,00 x 107

x6,00 x 107 + x5,00 x 107

V = (-57,35x106)+(9,2x105)

V = -56,4x106 m/s

Calculando a V com as Duas Partículas de Chumbo50

V = -11,15x107 m/s

Passo 4

Sabendo que a detecção dos fragmentos é realizada no momento em que cada um deles atravessa as paredes do detector e considerando a colisão descrita no Passo 3, determinar qual é o impulso transferido à parede do detector ATLAS pelo próton JP e pelo fragmento maior de chumbo JPb107 , após a colisão. Considerar que após atravessar a parede a velocidade do próton P se tornou 10 vezes menor que e a calculada no Passo 3, enquanto a velocidade final do fragmento de chumbo Pb107 (após atravessar a parede do detector) se tornou 50 vezes menor que a calculado no Passo 3. Elaborar um texto, contendo os 4 passos, este deverá ser escrito, obedecendo às regras de formatação descritas no item padronização e entregar ao professor responsável em uma data previamente definida.

Cálculo do momento linear do fragmento maior do núcleo de chumbo:

PPb107i=107x1,67x10-27x3,22x106

PPb107i=5,75x10-19 kg

Velocidade do próton após atravessar a parede do ATLAS:

vPf=69,4x10610

vPf=6,94x106 m/s

Velocidade do fragmento do núcleo de chumbo após atravessar a parede

do ATLAS:

vPb107f=3,22x10650

vP107f=64,4x103 m/s

Cálculo do momento linear do próton após atravessar a parede:

PPf=1,67x10-27x6,94x106

PPf=1,16x10-20 kg

Cálculo do momento linear do fragmento do maior do núcleo de chumbo após atravessar a parede:

PPb107f=107x1,67x10-27x64,4x103

PPb107f=1,15x10-20 kg

Cálculo do impulso transferido pelo próton: Jp=1,16x10-20-1,16x10-19

Jp=-1,04x10-19 Ns

Jp=1,04x10-19 Ns

Cálculo do impulso transferido pelo fragmento de chumbo:

Jp=1,15x10-20-5,75x10-19

Jp=-5,63x10-19 Ns

Jp=5,63x10-19 Ns

Relatorio Etapa 4

Foi determinado no Passo 1 da Etapa 4 a posição do centro de massa do feixe e prótons em sua colisão com o feixe de chumbo, calculado também o momento linear de cada feixe e o movimento linear total, com suas respectivas velocidades no Passo2 . No Passo 3 o cientista dividiu em 3 fragmentos o feixe de prótons sendo dois deles da mesma proporção e um o maior, observou que os prótons menores atingiram mais rápido os prótons, por serem menores atingiram maior velocidade e no Passo 4 foi calculado o momento em que eles atravessam as paredes do detector de metal chegando ate sua colisão.