Aplicaçoes Do Calculo

1-INTRODUÇÃO

O processo de mudança é inerente às leis da natureza. É pro isso, a sobrevivência do homem depende da compreensão das variações que ocorrem no meio ambiente. Matematicamente esta compreensão só ocorreu a partir do século XVII, com a invenção do Calculo Diferencial e Integral.

Oatual desenvolvimento tecnológico só foi possível ser alcançado graças aos mecanismos oriundos dos cálculos desenvolvidos por grandes estudiosos do passado que se preocupavam em descobrir as aplicações matemáticas nos mínimos detalhes da sua vida diária.

Nos dias atuais a preocupação não é diferente, as indústrias, as instituições buscam a cada dia aperfeiçoar seus métodos de produção para alcançar um padrão de sustentabilidade não só do processo produtivo, mas da sociedade como um todo.

A partir do pressuposto de que aEngenharia de Produçãogerencia os recursos humanos, financeiros e materiais para aumentar a produtividade usando principalmente os diversos conhecimentos do Cálculo Diferencial e Integral, o nosso objetivo neste trabalho será demonstrar exemplos práticos nos quais se aplicam os conhecimentos do Cálculo na vida moderna.

2- DESENVOLVIMENTO

2.1-A HISTORIA DA DERIVADA

As ideias principais que formam a base do cálculo diferencial e integral foram desenvolvidas durante um longo intervalo de tempo, sendo que os primeiros passos foram dados pelos matemáticos gregos, em particular buscando soluções para problemas geométricos. Para os gregos, e em particular para a escola pitagórica que teve grande influência nas gerações posteriores de pensadores, o número um era considerado um átomo oumônada formadora de todos os outros números. Desta forma os demais números eram compostos por uma quantidade de uns ou razões, entendidas como a divisão entre segmentos de comprimento inteiro. Daí o apreço pelos racionais e a dificuldade em aceitar números que não pertencem a este conjunto, como o número π ou 2√. Neste sentido eles acreditavam que nem todos os comprimentos pudessem ser representados por números. Tampouco trabalhavam com números negativos e não possuíam grande desenvolvimento em álgebra.

Na visão de alguns historiadores o verdadeiro precursor do cálculo foi Arquimedes que viveu de 287 até 212 a.c. e, segundo se acredita, foi aluno de Euclides em Alexandria. Arquimedes aperfeiçoou o método da exaustão para a prática da integração buscando encontrar áreas de figuras planas. Em seu livro A Medida do Círculo ele mostrou que o valor exato do número π está entre 310/71 e 31/7, aproximação que obteve inscrevendo e circunscrevendo o círculo em um polígono regular de 96 lados. Ele também descreveu uma técnica para o cálculo de raízes e inventou um sistema para a expressão de números grandes. Em O Contador de Areia (ou O Arenário) ele sugeriu um sistema de notação numérica capaz de expressar números até 8×1063 argumentando que este é um número suficientemente grande para contar todos os grãos de areia do universo. Para estimar as dimensões do universo ele se baseava no sistema de Aristarco, que tinha o Sol no centro do sistema planetário que incluía a Terra.

A origem da derivada está nos problemas geométricos clássicos de tangência, por exemplo, para determinar uma reta que intersecta uma dada curva em apenas um ponto dado. Euclides (cerca de 300a.C.) provou o familiar teorema que diz que a reta tangente a um círculo em qualquer ponto P éperpendicular ao raio em P. Arquimedes (287--212 a.C.) tinha um procedimento para encontrar atangente à sua espiral e Apolônio (cerca de 262--190 a.C.) descreveu métodos, todos um tantodiferentes, para determinar tangentes a parábolas, elipses e hipérboles. Mas estes eram apenasproblemas geométricos que foram estudados apenas por seus interesses particulares limitados; osgregos não perceberam nenhuma linha em comum ou qualquer valor nestes teoremas.

O interesse em tangentes a curvas reapareceu no século 17 como uma parte do desenvolvimento da geometria analítica. Uma vez que equações eram então usadas para descrever curvas, o número evariedade de curvas aumentaram tremendamente naqueles estudos em épocas clássicas. Por exemplo,Pierre Fermat (1601--1665) foi o primeiro a considerar a ideia de uma família inteira de curvas de umasó vez. Ele as chamou de parábolas superiores, curvas da forma y = kxn, onde k é constante e n = 2, 3,4, … A introdução de símbolos algébricos para estudar a geometria de curvas contribuiusignificativamente para o desenvolvimento da derivada, da integral e do cálculo. Por outro lado, comoconclusões e resultados geométricos poderiam ser obtidos mais facilmente usando raciocínio algébricoque geométrico, os padrões de rigor lógico que tinham sido iniciados pelos gregos antigos foramrelaxados em muitos problemas de cálculo, e isto (entre outros fatores) levou a controvérsiasespirituosas e até amarguradas. Fermat desenvolveu um procedimento algébrico para determinar ospontos mais altos (máximos) e mais baixos (mínimos) sobre uma curva; geometricamente, ele estavaencontrando os pontos onde a tangente à curva tem inclinação zero.

Finalmente, no início do século 19, a definição moderna de derivada foi dada por Augustin Louis Cauchy(1789--1857) em suas aulas para seus alunos de engenharia. Em seu RésuméofLessonsgivenatl'EcolePolytechnique in the Infinitesimal Calculus (Resumo das Lições Dadas na Escola Politécnica Sobre oCálculo Infinitesimal,1823), Cauchy afirmou que a derivada é:O limite de [f(x + i) - f(x)] / i quando i se aproxima de 0. A forma da função que servecomo o limite da razão [f(x + i) - f(x)] / i dependerá da forma da função proposta y =f(x). Para indicar sua dependência, dá-se à nova função o nome de função derivada.Cauchy prosseguiu para encontrar derivadas de todas as funções elementares e dar a regra da cadeia.De igual importância, Cauchy mostrou que o Teorema do Valor Médio para derivadas, que tinhaaparecido no trabalho de Lagrange, era realmente a pedra fundamental para provar vários teoremasbásicos do cálculo que foram assumidos como verdadeiros, isto é, descrições de funções crescentes edecrescentes. Derivadas e o cálculo diferencial estão agora estabelecidos como uma parte rigorosa emoderna do cálculo.

2.2-HISTÓRIA DA INTEGRAL

O cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolver um problema de quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consistede uma ou mais curvas,