Aplicação em fluidos ideais

Aplicação em líquidos perfeitos

O teorema de Bernoulli aplicado a liquidos perfeitos (compressibilidade e viscosidade nulas) aplicado ao escoamento variável é dado pela seguinte expressão:

Aplicado ao escoamento permanente as forças de inércia (variação da quantidade de movimento) são nulas, logo,

Onde,

é a energia potencial de posição por unidade de peso de liquido ;

é a energia potencial de pressão por unidade de peso de liquido ;

é energia cinética por unidade de peso de liquido ;

corresponde à variação da quantidade de movimento por unidade de peso de liquido ;

Para escoamentos permanentes e liquidos perfeitos a energia mecânica total do sistema é constante ao longo da trajectória,

Aplicação em fluidos reais

Na realidade não existem fluidos ideais, pois qualquer que seja o fluido, possui viscosidade. Assim torna-se necessário acrescentar à equação em questão, um parâmetro que tenha em consideração este factor e o efeito do atrito entre o fluido e a conduta. Este parâmetro é geralmente denominado de perda de energia ou perdas de carga.

Sendo , o ponto inicial (1); e , o ponto final (2) e a energia que se dissipa entre os dois.

Onde,

é a altura do ponto x em relação ao PHR (Plano Horizontal de Referência) ;

é a pressão do fluido no ponto x ;

é o peso específico do fluido ;

é a velocidade do fluido no ponto x ;

é a aceleração da gravidade ;

é a perda de carga entre os pontos 1 e 2 .

Observação: as unidades entre parênteses, são referidas ao sistema internacional (SI).

Características e consequências

Cada um dos termos desta equação tem unidades de comprimento, e por sua vez representam formas distintas de energia; em hidráulica é comum expressar a energia em termos de comprimento, e se fala de altura ou "cabeçal", esta última tradução do inglês head. Assim na equação de Bernoulli os termos podem chamar-se alturas ou "cabeçais" de velocidade, de presssão e "cabeçal" hidráulico, do inglés hydraulic head; o termo pode ser agrupado com para dar lugar à chamada altura piezométrica ou também carga piezométrica.

Também podemos reescriver este princípio em forma de soma de pressões multiplicando toda a equação por , desta forma o termo relativo à velocidade se chamará pressão dinâmica, os termos de pressão e altura se agrupam na pressão estática.

Esquema do efeito Venturi.

ou escrita de outra maneira mais simples:

onde

é uma constante.

Igualmente podemos escrever a mesma equação como a soma da energia cinética, a energia de fluxo e a energia potencial gravitacional por unidade de massa:

Assim o princípio de Bernoulli pode ser visto como outra forma da lei da conservação da energia, ou seja, em uma linha de corrente cada tipo de energia pode subir ou diminuir em virtude da diminuição ou o aumento das outras duas.

Esta equação permite explicar fenômenos como o efeito Venturi, já que a aceleração de qualquer fluido em um trajeto equipotencial (com igual energia potencial) implicaria uma diminuição da pressão. Este efeito explica porque objetos leves muitas vezes tendem a sair de um automóvel em movimento quando se abrem as janelas. A pressão do ar é menor fora devido a que está em movimento em relação aquele que se encontra dentro, onde a pressão é necessariamente maior. De forma, aparentemente, contraditória o ar entra no veículo mas este ocorre por fenômenos de turbulência e camada limite.

Equação de Bernoulli e a Primeira Lei da Termodinâmica

Da primeira lei da termodinâmica se pode concluir uma equação esteticamente parecida com a equação anteriormente assinalada, mas conceitualmente distinta. A diferença fundamental está nos limites de funcionamento e na formulação de cada fórmula. A equação de Bernoulli é um balanço de forças sobre uma partícula de fluido que se move através de uma linha de corrente, enquanto que a primeira lei da termodinâmica consiste em um balanço de energia entre os limites de um volume de controle dado, pelo qual é mais geral já que permite expressar os intercâmbios energéticos ao longo de uma corrente de fluido, como são as perdas por fricção que retiram do fluido energia, e as bombas ou ventiladores que somam energia ao fluido. A forma geral desta, a chamaremos, "forma energética da equação de Bernoulli" é:

onde:

é o peso específico ().

é uma medida da energia que é fornecida ao fluido.

é uma medida da energia empregada em vencer as forças fricção através do percurso do fluido.

Os subíndices e indicam se os valores estão dados para o começo ou o final do volume de controle respectivamente.

g = 9,81 m/s² y gc = 1 kg·m/(N·s²)

Suposições

A equação acima escrita é uma derivada da primera lei da termodinâmica para fluxos de fluido com as seguintes características .

O fluido de trabalho, ou seja, aquele que flui e que estamos considerando, tem uma densidade constante.

Não existe troca de energia interna.

Demonstração