Aplicações selecionadas da integral

Aula 20

Aplica»c~oes selecionadas da integral

de¯nida

20.1 Area de uma regi~ ¶ ao plana

Suponhamos que f e g s~ao duas fun»c~oes cont¶³nuas no intervalo [a; b], sendo f(x) ¸ g(x),

para todo x 2 [a; b].

Para x 2 [a; b], consideramos, apoiada µa esquerda no ponto x, uma fatia retangular

vertical, de base ¢x, e altura h(x) = f(x) ¡ g(x), como na ¯gura 20.1. A ¶area dessa

fatia ser¶a dada por ¢A = [f(x) ¡ g(x)]¢x.

a x b

y

x

y = f(x)

∆

x

y = g(x)

∆A = [f(x) - g(x)] ∆x

Figura 20.1.

Se subdividirmos o intervalo [a; b] em v¶arios sub-intervalos de comprimento ¢x, e

sobre cada um deles constru¶³rmos uma ¶area ¢A, como acima, teremos a ¶area entre as

duas curvas, compreendida entre as retas verticais x = a e x = b, dada aproximadamente

por

X¢A = X[f(x) ¡ g(x)]¢x

180Aplicac»oes selecionadas da integral definida ~ 181

onde, pelo bem da simplicidade, estamos omitidindo ¶³ndices do somat¶ario.

A ¶area entre as duas curvas, compreendida entre as retas verticais x = a e x = b,

ser¶a dada pelo limite de tais somas integrais, quando ¢x ! 0, ou seja, ser¶a dada por

A = lim

¢x!0

X[f(x) ¡ g(x)]¢x =

Z b

a

[f(x) ¡ g(x)] dx

Sendo ¢A = [f(x) ¡ g(x)]¢x, ¶e costume simbolizar dA = [f(x) ¡ g(x)]dx.

Temos ent~ao A = R b

a dA.

E costume dizer que ¶ dA = [f(x) ¡ g(x)] dx ¶e um elemento in¯nitesimal de ¶area,

de altura f(x) ¡ g(x), sobre um elemento in¯nitesimal de comprimento dx. O s¶³mbolo

de integra»c~ao, R

, prov¶em da forma de um arcaico S, e tem o signi¯cado de \soma (veja

isto: R

oma) de um n¶umero in¯nito de quantidades in¯nitesimais" . Assim, se f(x) ¸ 0, R b

a f(x) dx corresponde, grosso modo, a uma soma de elementos in¯nitesimais de ¶area,

de alturas f(x), e base dx, com x \variando" de a at¶e b.

Exemplo 20.1 Calcular a ¶area delimitada pelas curvas y = x2 e y = px.

2

y

√

y = x

y = x

0 x

1

1

Figura 20.2.

Solu»c~ao. As curvas dadas se interceptam em x0 = 0 e em x1 = 1 (solu»c~oes de x2 = px).

Para 0 · x · 1, temos px ¸ x2. Veja ¯gura 20.2.

Assim sendo, a ¶area entre as duas curvas ¶e dada por

A = R 1

0 [

px ¡ x2] dx = R 1

0 [x1=2 ¡ x2] dx =

h

2

3x3=2 ¡ x3

3

i1

0

= 2

3 ¡ 1

3 = 1

3 .

20.2 M¶edia ou valor m¶edio de uma fun»c~ao

Seja f uma fun»c~ao cont¶³nua no intervalo [a; b]. Em [a; b] tomemos os n + 1 pontos

igualmente espa»cados

x0 = a<x1 < x2 <:::< xn¡1 < xn = bAplicac»oes selecionadas da integral definida ~ 182

isto ¶e, tais que

x1 ¡ x0 = x2 ¡ x1 = ::: = xn ¡ xn¡1 = ¢x = b ¡ a

n

A m¶edia aritm¶etica dos n + 1 valores f(x0); f(x1); f(x2);::: ;f(xn), ¶e dada por

¹n = f(x0) + f(x1) + ¢¢¢ + f(xn)

n + 1

De¯niremos a m¶edia da fun»c~ao f, no intervalo [a; b], como sendo

¹f = limn!1 ¹n

Mostraremos que

¹f =

R b

a f(x) dx

b ¡ a

De fato, sendo ¢x = b ¡ a

n

, temos

¹n = f(x0) + f(x1) + ¢¢¢ + f(xn)

n + 1

= f(x0)

n + 1 +

1

¢x

µf(x1)¢x + f(x2)¢x + ¢¢¢ + f(xn)¢x

n + 1 ¶

= f(x0)

n + 1 +

n

b ¡ a

µf(x1)¢x + f(x2)¢x + ¢¢¢ + f(xn)¢x

n + 1 ¶

= f(x0)

n + 1 +

1