Atps Algebra Linear

As matrizes são estruturas matemáticas organizadas na forma de tabela com linhas e colunas, utilizadas na organização de dados e informações. Elas podem ser construídas com m linhas e n colunas.

, matriz de ordem 3 x 1. (3 linhas e 1 coluna)

, matriz de ordem 3 x 2. (3 linhas e 2 colunas)

, matriz de ordem 1 x 4. (1 linha e 4 colunas)

As matrizes com número de linhas e colunas iguais são denominadas matrizes quadradas. Observe:

, matriz quadrada de ordem 2 x 2.

, matriz quadrada de ordem 3 x 3.

, matriz quadrada de ordem 4 x 4

O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras.

As matrizes nos ajudam bastante em vários direcionamentos de assuntos e estudos que fazemos no dia a dia, as aplicações dessas "tabelas" nos auxiliam por exemplo no ensino da matemática aplicada a informática.As usuais transformações de tabelas que usamos como instrumento de estudo das matrizes podem ser feitas através de estudos realizados nos campos da econômia, engenharia, matemática, física, informática, ....

Na informática temos os exemplos clássicos de matrizes, em programas onde elas aparecem no auxíliodos cálculos matemáticos, editores de imagem, o próprio teclado onde sua configuração é realizada por um sistema de matrizes, entre outros tantos.

Na econômia por exemplo as matrizes auxiliam como grande ferramenta na interpretação de gráficos que também podem ser originados de tabelas que usamos as matrizes. Junto com a econômia temos as organizações comerciais que fazem uso da tabela, ou seja trabalham com matrizes.

Engenheiros civis fazem constantemente o uso das matrizes, que são de extrema importância para a divisão dos metros e distribuição de material na construção de uma estrutura de sustentação (lage). Na Física é feito o uso das matrizes a partir de tabelas relacionando o deslocamento e o tempo. Entre tantos outros exemplos, esse é o uso da matemática no dia a dia relacionando ao estudo de matrizes.

http://www.brasilescola.com/matematica/matriz.htm,http://www.somatematica.com.br/emedio/matrizes/matrizes.php,http://www.infoescola.com/matematica/matrizes-no-dia-a-dia/

01 - Ao comprar os produtos necessários para fazer uma feijoada, uma dona de casa resolveu pesquisar preços em três supermercados. A matriz P dos preços está representada a seguir; a primeira linha mostra os preços por kg do supermercado A; a segunda, do supermercado B; a terceira, do supermercado C. Esses preços são relativos, respectivamente, aos produtos feijão, linguiça, tomate e cebola. Sabendo que a matriz Q representa as quantidades necessárias, respectivamente, de feijão, linguiça, tomate e cebola, a dona de casa economizará mais se efetuar as compras no supermercado

a) A

b) B

c) C

d)A ou B indiferentemente

e) A ou C indiferentemente.

02-Matrizes são arranjos retangulares de números e possuem inúmeras utilidades. Considere seis cidades A, B, C, D, E e F; vamos indexar as linhas e colunas de uma matriz 6 × 6 por essas cidades e colocar 1 na posição definida pela linha X e coluna Y, se a cidade X possui uma estrada que a liga diretamente à cidade Y, e vamos colocar 0 (zero), caso X não esteja ligada diretamente por uma estrada à cidade Y. Colocaremos também 1 na principal.

Assinale a alternativa incorreta.

a) É possível ir, passando por outras cidades, da cidade C até a cidade E.

b) É possível ir, passando por outras cidades, da cidade A até a cidade C.

c) A matriz acima é simétrica.

d) Existem dois caminhos diferentes para ir da cidade A para a cidade D.

03- (UFRJ-1999) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida:

S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo. Cada elemento a ij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da linha i, coluna j de cada matriz).

Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primeira linha da matriz S).

a) Quem bebeu mais chope no fim de semana?

b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?

04- (UFRRJ-2003) Observe a tabela.

Simone e duas vizinhas se encontraram após fazerem uma pesquisa de preços em três mercados. Levando-se em conta três itens de suas listas, a saber: carne, arroz e café e os preços destes insumos em cada mercado, conforme mostra a tabela acima, é correto afirmar que

a) Lisa e Simone gastarão menos comprando no mercado C, do que gastariam no mercado B.

b) Simone e Lisa gastarão menos comprando no mercado B, do que gastariam nos mercados A ou C.

c) as três gastarão menos comprando no mercado A, do que gastariam no mercado B.

d) Laura e Simone gastarão menos comprando no mercado C, do que gastariam nos mercados A ou B.

e) Laura e Lisa gastarão menos comprando no mercado B, do que gastariam no mercado C.

Determinante de matriz: Regra de Chió

No perpassar dos conceitos de determinantes, aprendemos formas e procedimentos que ajudam a encontrar os determinantes das matrizes quadradas de ordem 3. A regra de Chió nos permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n, utilizando uma matriz de ordem menor (ordemn-1). Entretanto, para se utilizar esta regra é necessário que o elemento a11 seja igual a 1. Caso isso ocorra, poderemos utilizar os passos desta regra. Veja:

• Suprima a primeira linha e a primeira coluna da matriz.

• Dos elementos que restaram, subtraia o produto dos dois elementos suprimidos (um da linha e o outro da coluna) correspondente a este elemento restante. Por exemplo, no elemento a23 você realizará o produto do elemento da segunda linha da coluna que foi suprimida pelo elemento da terceira coluna da linha que foi suprimida. Com os resultados das subtrações realizadas no passo anterior, será obtida uma nova matriz, matriz esta com ordem menor, entretanto com determinante igual à matriz original.

Veja no exemplo a seguir.

De cada elemento da nova matriz subtrairemos o produto dos elementos suprimidos (elementos coloridos).

Veja que o cálculo do determinante desta nova matriz pode ser feito pela regra de Sarrus. Determinante este que será o mesmo da matriz inicial de ordem 4.

Mas lembre-se que esta regra só pode ser utilizada se o elemento a11 for igual a 1, caso contrário não será possível suprimir os elementos da linha e da coluna.

Teorema de Laplace

O teorema de Laplace consiste num método de calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem n ≥ 2 utilizando o cofator.

Lembrando que o cofator do elemento aij de uma matriz quadrada é o número:

Para calcular o determinante de uma matriz M quadrada de ordem n ≥ 2 utilizando o Teorema de Laplace, devemos proceder da seguinte forma:

1. Escolha qualquerfila (linha ou coluna) da matriz M.

2. Multiplique cada elemento da fila pelo seu respectivo cofator.

3. O teorema de Laplace diz que o determinante da matriz M será a soma dos produtos dos elementos da fila pelos seus respectivos cofatores.

Como já dispomos de métodos práticos para o cálculo do determinante de matrizes quadradas de ordem 2 e 3, é interessante aplicar o Teorema de Laplace para matrizes de ordem maior ou igual a 4.

Faremos alguns exemplos de aplicação do teorema proposto.

Exemplo 1. Calcule o determinante da matriz abaixo utilizando o dispositivo prático de Sarrus e o Teorema de Laplace.

Solução: Primeiro, vamos calcular o determinante utilizando o método prático de Sarrus.

Agora, vamos calcular o determinante utilizando o Teorema de Laplace.

Devemos escolher qualquer linha ou coluna da matriz M. Nesse caso, escolheremos a linha 2.

Agora, multiplicaremos cada elemento da linha pelo seu respectivo cofator:

Logo, o determinante será a soma desses produtos, ou seja:

D = – 6 + 3 +( – 1) = – 4.

Observe que nesse caso o dispositivo prático de Sarrus torna o cálculo do determinante bem mais simples que o Teorema de Laplace, como foi dito anteriormente.

Exemplo 2. Calcule o determinante da matriz a seguir utilizando o Teorema de Laplace.

Solução: Devemos escolher uma linha ou uma coluna da matriz A.

Se escolhermos a coluna 2, teremos:

Pelo teorema de Laplace, sabemos que:

D = a12∙A12 + a22∙A22 + a32∙A32 + a42∙A42

Segue que:

Assim, o determinante da matriz A será:

D = 3∙9 + 2∙48 + 1∙(-24) + 1∙(-15) = 27 + 96 - 24 - 15 = 84

O método Chio ao nosso ver é o mais adequado, pois a resolução é mais simples e deixa menos margem de erro.

01-Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, onde:

Com base na fórmula p(x) = det A, determine:

a) o peso médio de uma criança de 5 anos;

b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg.

02-Seja a matriz mostrada na figura diante A = . Sabendo-se que At = A, calcule o determinante da matriz A – 2A + I3²

03- Uma matriz é dita singular quando seu determinante é nulo. Então os valores de c que tornam singular a matriz são:

a) 1 e 3

b) 0 e 9

c) -2 e 4

d) -3 e 5

e) -9 e -3

01- Calcule os determinantes das matrizes abaixo, utilizando qualquer método:

a)

1 2 -1 4

3 -2 1 2

1 2 -2 5

-2 2 -4 2

b)

3 2 0 4

-1 -2 1 2

2 2 0 5

4 2 -4 0

Resolva os sistemas abaixo, utilizando qualquer método de resolução, principalmente o escalonamento

a)

X + y + 2z = 4

2x + 3y + 6z = 10

3x + 6y + 10z =14

b)

X - 2y + 3z = 2

2x - 3y + 8z = 7

3x - 4y + 13z = 8

c)

X + 2y + 3z = 3

2x + 3y + 8z = 14

5x + 8y + 19z = 11

d)

X + 2 y + 3z = 7

2x + y + z = 4

3x + 3y + z = 14

e)

2x + y - z = 4

x - y + 3z = -1

3x - 5y + 7z = -7

f)

4x + y - z = 3

x - y + z = 1

2x - y + z = 2

g)

x + 2 y + z = 2

-3x + y + 2z = 5

2x + 11y - 3z = 15

02- Qual dos sistemas lineares seguintes é equivalente ao sistema da figura 1?

Obs.: Os sistemas equivalentes são sistemas que possuem a mesma solução !!

03- Resolva cada exercício abaixo, justificando a sua resposta.

I) Durante uma aula de ginástica, três amigas, preocupadas com o excesso de peso, resolveram avaliar o peso de cada uma, utilizando a balança da academia. A pesagem, contudo, foi efetuada duas a duas. Ana e Carla pesaram, juntas, 98 kg; Carla e Márcia, 106 kg; Ana e Márcia, 104 kg. O peso das três amigas, juntas, subtraindo o dobro do peso de Carla, é igual a

a) 42 kg

b) 46 kg

c) 48 kg

d) 54 kg

e) 58 kg

II) Calcule os valores dos pesos x, y e z para os quais as balanças estão equilibradas.

III) Uma fábrica de confecções produziu, sob encomenda, 70 peças de roupas entre camisas, batas e calças, sendo a quantidade de camisas igual ao dobro da quantidade de calças. Se o número de bolsos em cada camisa, bata e calça é dois, três e quatro, respectivamente, e o número total de bolsos nas peças é 200, então podemos afirmar que a quantidade de batas é:

a) 36

b) 38

c) 40

d) 42

e) 44

IV) Pelo fato de estar com o peso acima do recomendado, uma pessoa está fazendo o controle das calorias dos alimentos que ingere. Sabe-se que 3 colheres de sopa de arroz, 2 almôndegas e uma porção de brócolis têm 274 calorias. Já 2 colheres de sopa de arroz, 3 almôndegas e uma porção de brócolis têm 290 calorias. Por outro lado, 2 colheres de sopa de arroz, 2 almôndegas e 2 porções de brócolis têm 252 calorias. Se ontem seu almoço consistiu em uma colher de sopa de arroz, duas almôndegas e uma porção de brócolis, quantas calorias teve essa refeição?

a) 186

b) 170

c) 160

d) 148

e) 126

01-Sejam u = (3, 4) e v = ( -2, 2).

a) u + v

b) v – u

c) – u

d) 2 v

e) Represente cada um dos vetores u, v, 2 v, (u+v), (v – u) e – u no plano cartesiano abaixo

f) Calcule a medida do ângulo formado pelos vetores u e v

02-Considere os vetores u = (-2, -5) e v (8, 1), determine:

a) os módulos dos vetores u e v;

b) o produto escalar;

c) a medida do ângulo formado por estes dois vetores.