Atps Calculo III

ETAPA 1

Resolução: “Passo 1”

Segundo pesquisa na internet: o cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Também que a integral indefinida pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é um processo que inverte a derivada de funções. Enquanto a integral definida, inicialmente definida como soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo estabelecido entre dois intervalos bem definidos, daí o nome integral definida.

O "Teorema Fundamental do Cálculo" estabeleceu-se uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de Isaac Newton em Cambridge, Isaac Barrow, descobriu que esses dois problemas estão de fato estritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processos inversos.

Foram Leibniz e Newton que exploraram essa relação e a utilizaram para transformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularmente ambos viram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá-las como limites de soma (método descrito pelo matemático Riemann, pupilo de Gauss).

Referente a área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície. Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos. São também muito usadas as medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o acre e o alqueire.

Na geografia e cartografia o termo "área" corresponde à projeção num plano horizontal de uma parte da superfície terrestre. Assim, a superfície de uma montanha poderá ser inclinada, mas a sua área é sempre medida num plano horizontal.

História da Integral

A história mostra que o cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolvendo o problema de medição da área de uma região bidimensional. Para muitos matemáticos, cientistas e engenheiros a integral simplifica os problemas complicados.

Historicamente, existem inúmeras contribuições dos matemáticos no cálculo, tais como:

- Hipócrates de Chios (cerca de 440 A.C.) quem executou as primeiras quadraturas quando encontrou a área de certas lunas.

- Antiphon (cerca de 430 A.C.) afirmava que poderia "quadrar o círculo" ou encontrar sua área, usando uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos.

- Eudoxo (cerca de 370 A.C.) usou um método chamado de exaustão.

- Arquimedes (287--212 A.C.), conhecido como o maior matemático da antiguidade, usou o método de exaustão para encontrar a quadratura da parábola. Arquimedes primeiro mostrou que a área depende da circunferência. Seu mais famoso trabalho de todos, foi um tratado combinado de matemática e física, Arquimedes empregou indivisíveis para estimar o centro de gravidade.

Outros matemáticos surgiram, depois de Arquimedes, como o árabe Thabit ibn Qurrah (826--901) quem desenvolveu sua própria cubatura. Assim também o cientista persa Abu Sahl al-Kuhi (século 10) quem simplificou consideravelmente o processo de Thabit Ibn.

O matemático Al-Haytham (965--1039), mais conhecido no ocidente como Alhazen e quem chegou a ser famoso por seu trabalho em ótica. E assim em diante, muitos outros matemáticos, estudantes, cientistas, etc. trabalharam ao longo da história para construir o caminho que hoje facilita o cálculo integral em diversos ambientes, sendo usada como uma ferramenta de auxilio.

“Passo 2”

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de :

∫▒〖(a^3/3+ 3/a^3 + 3/a) da〗?

F(a) = 12a4 – 3a-2/2 + ln|3a| + c

F(a) = a4/12 – 3/2a2 + 3ln|a| + c

F(a) = a4/12 + 2/3a2 – 3 ln|a| + c

F(a) = 12a4 + 3/2a-2 + ln|a| + c

F(a) = a4 + 3/2a2 + 3ln|a| + C

∫▒〖(a^3/3+ 3/a^3 + 3/a) da〗 ∫▒〖(a^3/3) da〗 (a^4/(3/4)) a^4/3 x 1/4= a^4/12

∫▒〖( 3/a^3 ) da〗 ∫▒〖3( 1/a^3 ) da〗 3( a^(-3+1)/(-2)) - 3/2 a^(-2) - 3/(2a^2 ) ∫▒〖( 3/a) da〗 ln⁡|a|+ c

∫▒〖(a^3/3+ 3/a^3 + 3/a) da〗 = a^4/12- 3/(〖2a〗^2 )+ ln|a|+ c

Resposta Alternativa: (B)

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$ 10.000 e um custo marginal de C¢(q) =1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000 , a alternativa que expressa C(q) , o custo total para se perfurar q pés, é:

C(q) =10.000 +1.000q + 25q2

C(q) =10.000 + 25q +1.000q2

C(q) =10.000q2

C(q) =10.000 + 25q2

C(q) =10.000q + q2 + q3

∫▒〖50q+1000 dq〗 〖50q〗^2/2+ 1000q+C

C=25q^2+ 1000q+10.000

Resposta Alternativa : (A)

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: t C t e 0,07 ( ) =16,1× .