Atps Calculo Numerico

ETAPA 1 – PASSO 01

O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada.

Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.

Por que produzir resultados numéricos?

Um problema de Matemática pode ser resolvido analiticamente, mas esse método pode se tornar impraticável com o aumento do tamanho do problema.

Exemplo: solução de sistemas de equações lineares.

A existência de problemas para os quais não existem métodos matemáticos para solução (não podem ser resolvidos analiticamente).

Exemplos:

a) não tem primitiva em forma simples;

b) não pode ser resolvido analiticamente;

c) equações diferenciais parciais não lineares podem ser resolvidas analiticamente só em casos particulares.

Os métodos numéricos buscam soluções aproximadas para as formulações matemáticas.

Nos problemas reais, os dados são medidas e, como tais, não são exatos. Uma medida física não é um número, é um intervalo, pela própria imprecisão das medidas. Daí, trabalha-se sempre com a figura do erro, inerente à própria medição.

Os métodos aproximados buscam uma aproximação do que seria o valor exato. Dessa forma é inerente aos métodos se trabalhar com a figura da aproximação, do erro, do desvio.

Função do Cálculo Numérico na Engenharia

“Buscar solucionar problemas técnicos através de métodos numéricos Þ modelo matemático

Passos para a resolução de problemas

Influência dos Erros nas Soluções

Exemplo 1: Falha no lançamento de mísseis

(25/02/1991 – Guerra do Golfo – míssil Patriot)

Limitação na representação numérica (24 bits)

Erro de 0,34 s no cálculo do tempo de lançamento

Exemplo 2: Explosão de foguetes

(04/06/1996 – Guiana Francesa – foguete Ariane5

Limitação na representação numérica (64 bits/ 16 bits)

Erro de trajetória 36,7 s após o lançamento

Prejuízo: U$ 7,5 bilhões

Aplicações de cálculo numérico na engenharia.

Determinação de raízes de equações

Interpolação de valores tabelados

Integração numérica, entre outros.

PRINCÍPIOS DO CÁLCULO NUMÉRICO

1. Iteração ou aproximação sucessiva

Partindo-se de solução aproximada, inicial, repetem-se mesmas ações/processos para refinar solução inicial.

Observação: para evitar trabalho sem fim, deve-se determinar se a iteração converge (nem sempre é o caso...) e condições de parada

2. Discretização

Na resolução de problemas contínuos (aqueles definidos matematicamente com uma passagem ao limite), inverte-se a passagem ao limite, discretizando o problema.

Ex.: ~ Σ...

3. Aproximação

Substituir uma função ou modelo por outro que ofereça comportamento (de interesse) semelhante, mas mais simples de manipular.

f(x) g(x)

Ex.: assíntotas ilustram comportamento “no limite” de uma função (complexa) de interesse

4. Transformação

Dado um problema P, desmembra-se P em dois problemas mais simples de resolver: P1 e P2.

Área de um trapézio por retângulo (P1) e triângulos (P2)

5. Divisão e Conquista

Resolver um problema P, por partes ou etapas.

Exemplo anterior (área do trapézio).

A álgebra linear ocupa lugar de destaque nas diversas áreas da matemática – da análise à estatística, onde se utilizam, constantemente, o cálculo matricial e vetorial. A importância da álgebra linear tem crescido nas últimas décadas. Os modelos matemáticos lineares assumiram um importante papel juntamente com o desenvolvimento da informática e como seria de se esperar, esse desenvolvimento estimulou um notável crescimento de interesse. Algumas das possibilidades de aplicações dos conteúdos da disciplina na modelagem matemática de problemas e situações concretas em engenharia são: • Equações lineares em decisões gerenciais; circuitos eletrônicos e exploração de petróleo, entre outros. • Álgebra matricial em computação gráfica. • Determinantes em cálculo de áreas de volumes de sólidos poliédricos. • Espaços vetoriais em sistemas de controle. • Autovalores e autovetores em sistemas dinâmicos, entre outros. Apesar da linguagem específica desta disciplina muitos problemas de ordem prática são resolvidos por meio de técnicas simples, como por exemplo, o uso de sistemas lineares para tratar de situações que envolvam n variáveis relacionadas através de m equações. Os algoritmos de resolução de sistemas lineares podem ser apresentados através da notação matricial, tornando sua aplicação uma expansão do tratamento com números

Como exemplos de aplicações de álgebra