Atps Calculo Numerico

RESUMO

A “ATPS” (Atividade Prática Supervisionada) é realizada sob aorientação do professor, com fundamento em resolução do desafio de desenvolvimento através de conceitos teóricos e exercícios abordados em sala de aula.

Palavras – chave: calculo numério, atps

Sumário

Introdução

Desafio

O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados, consiste num conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com a cor escura ou não. Quando um leitor óptico, também chamado de scanners, passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 0 (zero) e a de uma barra escura, no número 1.

Observar na figura ao lado, um exemplo simplificado de

um código em um sistema de código linear com 31 barras.

Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita

irá ler: 0101000110101001110101000110101. Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda irá ler: 1010110001010111001010110001010.

Marcos é proprietário da empresa de importação chamada “Vendomundo”.

Anos atrás, visando mais eficiência na localização dos contêineres e diminuição dos erros gerados por interferência humana, Marcos contratou os serviços de uma empresa com expertise no desenvolvimento de soluções inteligentes para logística portuária e recintos alfandegados.

Os códigos de barras lineares, bidimensionais e outras tecnologias, como GPS (Sistema de PosicionamentoGlobal, em português), passaram a ser utilizados pela importadora desde então, como uma das formas de localização de produtos, unidades logísticas, registro de contêineres, documentos, serviços e cargas. Essa tecnologia, sem dúvida, trouxe automação para a maioria dos processos, gerando eficiência, maior controle e confiabilidade para a empresa.

No sistema de código de barras linear, para organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar em consideração que alguns deles podem ter leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda. Para exemplificar, apresentamos o código: 01001000111100010010. Temos aqui um exemplo de um código de barras linear palíndromo.

Curiosamente, a listagem de um novo lote de contêineres da empresa de Marcos, recentemente desembarcado no porto de Santos, associava um código linear palíndromo a um dos contêineres.

O desafio proposto neste caderno de atividades é: “descubra o código linear palíndromo com 34 barras” que chamou a atenção de Marcos pela sua excentricidade. Para tanto, sete desafios são propostos. Cada desafio, após ser devidamente realizado, deverá ser associado a um número: 0 ou 1. Esses números, quando colocados lado a lado e na ordem de realização das etapas, fornecerão os dezessete primeiros algarismos (da esquerda para a direita) que irão compor o código de barras linear palíndromoque foi associado a um dos contêineres recentemente desembarcado no porto de Santo pela importadora “Vendomundo”.

Objetivo do desafio

Encontrar o código de barras linear palíndromo que chamou a atenção do proprietário da importadora “Vendomundo”, quando checou a listagem dos contêineres desembarcados no porto de Santos em um determinado dia.

Conceitos e Princípios Gerais de Cálculo Numérico.

O cálculo numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam principalmente a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto precisam ser resolvidos numericamente.

O cálculo numérico compreende:

• A análise dos processos que resolvem problemas matemáticos por meio de operações aritméticas;

• O desenvolvimento de uma sequência de operações aritméticas que levem as respostas numéricas desejadas;

• O uso de computadores para obtenção das respostas numéricas, o que implica em escrever o método numérico como um programa de computador.

Espera-se que, com isso, obter respostas confiáveis para problemas matemáticos.

Podemos dividir a Matemática em duas partes, o caçulo numérico e o cálculo algébrico. O cálculo numérico envolve as operações da adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, envolvendo os números reais. O cálculoalgébrico está diretamente ligado a expressões algébricas, envolvendo equações, inequações e sistemas de equações. Nele, todos os fundamentos fixados no cálculo numérico são utilizados.

Espaço vetorial – Um espaço vetorial é uma entidade formada pelos seguintes elementos:

1º) Um corpo K, ou seja, um conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, cujos elementos são chamados de escalares.

2º) Um conjunto V dotado de uma operação binária de VxV em V, os elementos de V serão chamados de vetores.

Espaço Vetorial Euclidiano – é qualquer espaço real que possui um número finito de dimensão e possui uma operação denominada produto interno.

Espaço Vetorial Normado – é qualquer espaço vetorial que possui norma definida.

Processo de Gram-Schmidt – é um método para ortogonalização de um conjunto de vetores em um espaço com produto interno, normalmente Rn . O processo recebe um conjunto finito, linearmente independente de vetores S= {V1, ..., Vn } e retorna um conjunto ortogonal S= {U1, ..., Un } que gera o mesmo espaço S inicial.

Projeção ortogonal - Projeção ortogonal é um conceito de grande importância para a álgebra linear e vital para as aplicações estatísticas porque permite obter um vetor que tem a menor distância de um vetor considerado, critério que serve de base para o método dos quadrados mínimos. A definição que segue é fundamental paraque se possa obter uma base ortonormal a partir de uma base de um subespaço W⊆ℝn.

A projeção ortogonal de um vetor v→ sobre um vetor não nulo w→ é definida como:

w→1=projw→v→=〈v→,w→〉||w→||2⋅w→.

sendo 〈.〉 o produto interno e ||.|| a norma do vetor.

Autovalores e autovetores - É uma transformação especial T : V W.

(I) T(v) = v

Onde,  é o autovalor (escalar) e v é autovetor (se v 0).

Como toda transformação linear pode ser escrita pela multiplicação de uma matriz por um vetor então: (II) T(v) = Av

Igualando (I) e (II), tem-se:

Av = v ou Av – v = 0 que resulta no sistema homogêneo:

(III) (A – I) v = 0

Onde A é n x n, v = 0 é sempre solução (trivial).

Os vetores v 0 para os quais existe um  que resolve a equação (III) são chamados de autovetores da matriz A e os valores de , que conjuntamente com v resolvem a equação são chamados de autovalores da matriz A associados aos respectivos autovetores.

Para que a equação (III) tenha solução além da trivial é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero, ou seja, det(A – I) = 0 o que resulta em um polinômio de grau n em , conhecido como polinômio característico. As raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz A.

Para se encontrar os autovetores basta substituir o valor do autovalor na equação original e encontrar o autovetor. O autovalor será, então, associado aoautovetor encontrado.

Na verdade, o autovetor encontrado forma uma base para o espaço de solução da equação (III), dado o respectivo autovalor. Logo, qualquer múltiplo do autovetor também é um autovetor.

Portanto:

Sendo A a matriz canônica que representa um operador linear T, temos:

• autovalores  de T ou de A: são as raízes da equação

det(A – I) = 0,

• autovetores v de T ou de A: para cada , são as soluções da equação

Av = v ou (A – I)v = 0.

Passo 2 - Desafio A

1 – Falso

2 – Verdadeiro

3 – Falso

Desafio B

= (4,7-1) e = (3,10,11)

Sim, pois

Dados os vetores u = (4, 7, -1) e v = (3, 10, 11), podemos afirmar que u e v são linearmente independentes.

Resposta:

u = (4, 7, -1) e v = (3, 10, 11) u = (4, 7, -1) e v = (3, 10, 11)

a . (4, 7, -1) + b . (3, 10, 11) = 0,0,0 =  

(4a, 7a, -a) + (3b, 10b, 11b) = 0,0,0

4a + 3b = 0

7a + 10b = 0

-a + 11b = 0

1) -a + 11b = 0

-a = -11b (-1)

a = 11b

2) 4a + 3b = 0

4(11b) + 3b = 0

44b + 3b = 0

47b = 0

b =

b = 0

3) 7a + 10b = 0

7(11b) + 10b = 0

77b + 10b = 0

87b = 0

b =

b = 0

4) -a + 11b = 0

-a + 11(0) = 0

-a + 0 = 0

-a =

-a = 0

Resposta: LI (Linearmente Independente).

Desafio C

= (3,-3,4) e = (-1,2,0)

=2

Passo 3 – Desafio A

I > 1

II > 1

III > 0

Desafio B

I = 0

Desafio C

I = 1

Etapa 2

Passo 1

No caso A os 3 valores foram diferentes, pois, marcam quantidades de digito se manteve diferente dando assim.

No caso B a diferença se deve a somatória.

Passo 2

I – Errada pois 0,1x não atende as características que se pede no desafio.

II – Correto se usarmos arredondamento o número 0,123456x passa para0,123456x e quando usarmos um truncamento o numero passa para 0,123456, pois, em ambos os casos existem 6 dígitos na mantissa para atender ao que pede no exercício usa-se o arredondamento ou o truncamento para ficar com 5 dígitos na mantissa.

III – Errado o resultado será 0,4522 e não 0,4

Passo 3

I – 1

II – 0

III - 0