Atps Equações Lineares

Introdução

Neste trabalho encontraremos informações importantes para compreender a caracterização de uma equação diferencial e a sua aplicação em problemas de engenharia. Assim como descrições detalhadas dos conceitos separadamente.

Etapa 1

Passo 1

Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em

sistemas físicos e problemas de engenharia.

Modelagem

A modelagem de acordo com nossos estudos é a forma de analisar um problema (encontrar qual o foco principal a ser resolvido ou o resultado que queremos), buscar alternativas e verificar qual a melhor saída comparando com o objetivo; para isto fazemos um diagrama de blocos ou simples anotações dos principais fatores do determinado problema.

Na matemática através deste método, elaboramos uma função onde temos uma variável como “fator” principal em relação ao tempo; e através desta de acordo com os resultados finais; também podemos fazer uma representação gráfica. Assim, podendo utilizar em uma pesquisa populacional ou ate mesmo para verificar o crescimento de um tumor.

Portanto, as modelagens através de equações diferenciais nos explicam o comportamento de certos sistemas.

Equações diferenciais

Equação diferencial é conjuntos de derivadas pertencentes ao uma função desconhecida da variável.

A modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

O sistema de modelagem analisa a melhor maneira de alcançar um resultado, enquanto as equações diferenciais possuem um nível de exatidão muito grande, tornando em muitas vezes um método bem viável.

A sua aplicabilidade é notada na fórmula S=So + VoT + (AT²)/2 . O que se percebe na forma de S(t) = F’’(t) + F’(t) + F(t) do qual é um sistema preciso e completo quesito de calcular a velocidade, espaço, aceleração e tempo. Por este motivo, está diretamente ligada à modelagem e sua fórmula é na utilização de Equações Diferenciais.

De acordo com Rangel(2013) "Uma das principais razões da importância das equações diferenciais é que mesmo as equações mais simples são capazes de representar sistemas úteis. Mesmo alguns sistemas naturais mais complexos comportam modelagens em termos de equações diferenciais bem conhecidas. Por outro lado, problemas cuja modelagem exige equações diferenciais mais complicadas podem, hoje em dia, ser tratados através de métodos computacionais. Assim, o estudo e o desenvolvimento da área de modelagem de sistemas através de equações diferenciais são de suma importância para a compreensão de problemas reais, apresentando aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento e, em particular, em Ciências Naturais".

Passo 2

Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de integração de

funções de uma variável. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado

ao final da ATPS).

Equações diferenciais

Uma equação diferencial é uma equação com uma série de funções derivadas de uma mesma função começando pela a de maior ordem. No caso de uma Equação Diferencial Ordinária, a solução da equação é a sua função original não derivada.

Integral

A integral foi criada para calcular áreas curvas, geralmente de um plano cartesiano, porém com o tempo foi-se descobrindo novas formas de seu uso tornando cada vez mais complexa e importante para a ciência em si. Basicamente uma integral segue o caminho inverso da derivada.

Existem várias maneiras de calcular uma integral, como a integral definida que se tem os valores máximos e mínimos definidos da variável. Há também a indefinida, que em seu cálculo chega em outra equação aplicável, mantendo ainda a variável da função.

Passo 3

Estudar o método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de

primeira ordem. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final

da ATPS).

Resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de primeira ordem.

Resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis

É toda a solução da equação diferencial que se obtém da solução geral, por particularização da(s) constante(s) e, geometricamente, representa uma das curvas da família de curvas integrais, correspondentes à solução ou integral geral.

Para a particularização das constantes, com vista à obtenção duma solução ou integral particular, podem ser fornecidas condições que podem ser referidas a um mesmo valor da variável independente, condições iniciais. Resolver ou integrar uma equação diferencial consiste em determinar a solução geral ou integral geral ou sendo dadas condições, determinar a solução ou integral particular que as satisfazem.

Se a equação é de variáveis separáveis então podemos passar da forma canónica M( x, y )dx+ N(x, y )dy = 0 para a forma a( x ).b( y )dx+c( x ).d( y )dy= 0 . Separando as variáveis x e y, de forma a que os coeficientes de dx e dy sejam respectivamente funções de x e de y, resulta uma equação de variáveis separadas.

Assim vem:

a(x)/c(x) dx +d(y)/b(y) dy = 0

Integrando temos:

∫(a(x)/c(x) dx + ∫d(y)/b(y) dy =c)

A equação obtida é a solução geral de uma equação de variáveis separáveis.

Resolução de equações diferenciais de primeira ordem

Uma equação de primeira ordem diz-se linear se é do primeiro grau na função

incógnita e na sua primeira derivada, podendo representar-se simbolicamente por

y'+P( x )y = Q( x )

com